Plie une feuille 42 fois et tu touches la Lune : l'exponentielle

Prends une feuille de papier et plie-la en deux, 42 fois de suite. Si tu y arrivais, ta pile de papier atteindrait la Lune. Non, ce n'est pas une arnaque vue dans une pub sur internet : c'est l'exponentielle, la fonction qui fait passer les choses de « mignon » à « catastrophique » sans prévenir.

Ajouter ou multiplier : le match truqué

Deux règles partent de 1 pour une course. La première ajoute 10 à chaque étape : 1, 11, 21, 31… C'est une croissance linéaire, sage comme une file d'attente à la cantine. La seconde multiplie par 2 : 1, 2, 4, 8, 16… C'est une croissance exponentielle.

Au début, la règle « + 10 » écrase sa rivale. Mais à la 6^e étape, la doubleuse passe devant (64 contre 61), et à la 8^e, elle en est à 256 contre 81. Après 30 étapes, le match est plié : 301 d'un côté, plus d'un milliard de l'autre.

Le piège, c'est notre cerveau : il pense « linéaire ». Petite énigme pour le tester. Un nénuphar double de surface chaque jour et recouvre tout l'étang en 30 jours. Quand en recouvre-t-il la moitié ? Pas le 15^e jour : le 29^e ! La veille de la catastrophe, la moitié de l'étang semble encore libre et tout le monde dort tranquille. En cours, ces suites qui multiplient s'appellent des suites géométriques.

Comment ruiner un roi avec du riz

Une vieille légende raconte qu'un roi voulut récompenser l'inventeur des échecs. Celui-ci demanda poliment un grain de riz sur la première case de l'échiquier, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, et ainsi de suite en doublant jusqu'à la 64^e. Le roi éclata de rire devant une demande aussi modeste… puis ses comptables devinrent très pâles.

Au total, il faut 2⁶⁴ − 1 grains, soit environ 18 milliards de milliards. À 0,02 gramme le grain, cela fait quelque 370 milliards de tonnes. La planète produit environ 540 millions de tonnes de riz par an : il faudrait près de 700 ans de récoltes mondiales pour payer la facture. Morale : ne signe jamais un contrat qui contient le mot « doubler » sans ta calculatrice.

Plier, diviser, recommencer

Retour à la feuille du début. Elle fait environ 0,1 mm d'épaisseur, et chaque pliage double l'épaisseur. Après 10 pliages : 10 cm, un gros dictionnaire. Après 20 : une centaine de mètres, un immeuble d'une trentaine d'étages. Après 42 : environ 440 000 km, plus que la distance Terre-Lune (384 400 km en moyenne). Dans la vraie vie, tu bloqueras bien avant : la feuille devient vite trop épaisse et trop petite.

Les bactéries jouent au même jeu. Dans des conditions de rêve (nourriture à volonté, température idéale), une bactérie comme Escherichia coli se divise en deux toutes les 20 minutes environ. En 10 heures, ça fait 30 doublements : une seule bactérie devient plus d'un milliard. À ce rythme, leur masse dépasserait celle de la Terre en moins de deux jours ! Heureusement, la nourriture s'épuise bien avant et la croissance finit toujours par ralentir. Ouf pour le sandwich oublié au fond de ton sac.

La fonction qui se regarde dans le miroir

Pour décrire une croissance qui se fait en continu, et pas par étapes, les matheux ont fabriqué la fonction exponentielle, notée exp. Sa carte d'identité tient en une ligne :

exp′ = exp, avec exp(0) = 1

Traduction : sa dérivée, c'est-à-dire sa vitesse de croissance, est égale à elle-même. Dériver l'exponentielle, c'est se regarder dans un miroir : on retombe sur la même tête. Plus elle est grande, plus elle grandit vite, exactement comme une colonie de bactéries : plus il y a de monde, plus il y a de divisions. On l'écrit aussi e^x, où le nombre e vaut environ 2,718.

Ce nombre e est apparu à la fin du XVII^e siècle chez le mathématicien Jacques Bernoulli, qui étudiait… les intérêts bancaires. Avec des intérêts composés, tes intérêts rapportent à leur tour des intérêts : 1 000 € placés à 3 % par an deviennent environ 1 344 € en 10 ans, et doublent en 24 ans environ. Astuce de banquier : divise 72 par le taux pour savoir, à peu près, en combien d'années ton argent double (72 ÷ 3 = 24). Pour reconnaître ces courbes au premier coup d'œil, entraîne-toi avec notre jeu des courbes.

Et quand ça descend ?

L'exponentielle sait aussi faire le chemin inverse. Dans un échantillon radioactif, au lieu de doubler, la quantité de noyaux est divisée par deux au bout d'une durée toujours identique : la demi-vie. Pour le carbone 14, présent dans tout être vivant, elle vaut environ 5 700 ans. C'est l'horloge qui permet de dater des os, du bois ou des tissus jusqu'à environ 50 000 ans. Ötzi, l'homme des glaces retrouvé en 1991 dans les Alpes, a été daté ainsi : il est mort il y a environ 5 300 ans. Moins d'une demi-vie : son corps contenait encore un peu plus de la moitié de son carbone 14 d'origine.

Ton chocolat chaud suit une loi cousine : en simplifiant, l'écart entre sa température et celle de la pièce fond de façon exponentielle (c'est la loi de refroidissement de Newton, oui, encore lui). Il passe très vite de « brûlant » à « buvable »… puis traîne une éternité du côté de « tiède ». Même histoire pour un condensateur qui se décharge dans un circuit électrique. Tu retrouveras la fonction exponentielle dans les ressources de maths de Première, puis en Terminale.

Pour voir ça bouger : l'animation de la décroissance radioactive, celle du refroidissement de Newton et celle du condensateur qui se charge et se décharge.

Pour aller plus loin

• Fonction exponentielle (Wikipédia)
• L'histoire du nombre e (Wikipédia)
• Cours, fiches et exercices corrigés : maths spécialité de Première et maths spécialité de Terminale.