Ton compteur affiche 87 km/h. Question piège : 87 km/h… pendant combien de temps ? À un instant précis, la voiture parcourt zéro mètre en zéro seconde, et 0 divisé par 0, même ta calculatrice refuse d'en parler. Ce casse-tête a résisté aux plus grands cerveaux pendant deux mille ans, jusqu'à ce que deux génies inventent la dérivée… et se fâchent à mort.
La vitesse moyenne, ce gros mensonge
Départ en vacances : 300 km en 3 heures, soit 100 km/h de moyenne. Sauf que tu n'as jamais roulé à 100 km/h pile ! Il y a eu le bouchon, la pause sandwich triangle sur l'aire d'autoroute, ta petite sœur qui voulait s'arrêter « juste deux minutes », puis les lignes droites à 130. La moyenne écrase toute cette aventure en un seul nombre.
Même Usain Bolt se fait piéger. Lors de son record du monde du 100 m (9,58 s, Berlin, 2009), il a couru à 37,6 km/h de moyenne, mais a dépassé 44 km/h en pleine course. Et cette « vitesse de pointe » est elle-même… une moyenne, calculée entre le 60e et le 80e mètre.
Sur un graphique distance-temps, la vitesse moyenne est la pente (le « coefficient directeur » de ton cours) de la droite qui relie le départ à l'arrivée : plus elle grimpe raide, plus tu as roulé vite. Cette droite, qui coupe la courbe en deux points, s'appelle une sécante.
Le radar tronçon, lui, mesure ta moyenne entre deux caméras. Inutile de jurer que tu as ralenti devant chacune : un théorème (celui des accroissements finis, vu après le bac) garantit qu'à un moment au moins, tu as roulé exactement à ta moyenne. Les maths ont toujours un témoin.
0 ÷ 0, la tête à Toto
L'astuce géniale : prendre non pas une durée nulle, mais une durée de plus en plus petite. Une voiture démarre et parcourt d = t2 mètres en t secondes. Sa vitesse à 5 s pile ? Entre 5 et 6 s, elle avale 11 m : 11 m/s de moyenne. Entre 5 et 5,1 s : 10,1 m/s. Entre 5 et 5,01 s : 10,01 m/s. Les résultats foncent vers 10, comme une classe vers la cantine le jour des frites. Vitesse instantanée : 10 m/s, soit 36 km/h. En simplifiant un peu, ton compteur fait pareil : il compte les tours de roue sur des intervalles très courts.
Sur le graphique, cette vitesse instantanée devient la pente de la tangente : la droite qui frôle la courbe en suivant exactement sa direction. C'est la ligne droite que suivrait une voiture qui rate son virage sur le verglas.
Zoome, zoome… c'est tout droit
Même idée pour n'importe quelle courbe. Prends un point A, puis un point B un peu plus loin, et trace la sécante (AB). Fais glisser B vers A : la sécante pivote, pivote… et finit par se coller à la tangente. La pente de cette tangente s'appelle le nombre dérivé en A.
Autre façon de voir : zoome sur la courbe autour de A, encore et encore. Une courbe bien lisse finit par ressembler à une droite, comme la Terre paraît plate quand tu marches dessus (c'est d'ailleurs tout l'argument des platistes : ils ont juste oublié de dézoomer). Les matheux résument l'histoire en une ligne, où h est le petit écart entre A et B :
f′(a) = limh → 0 [f(a + h) − f(a)] ÷ h
Traduction : « la pente de la sécante, quand on fait rétrécir l'écart sans fin ». Le h s'approche de 0 sans jamais l'atteindre : la division interdite n'a jamais lieu. Malin.
Pour voir ça bouger : l'animation de la sécante qui devient tangente.
Le signe de la dérivée, ou l'art de la randonnée
Marche sur la courbe de gauche à droite, comme sur un sentier : la dérivée, c'est la pente sous tes chaussures. Positive, ça grimpe : la fonction est croissante, et tes mollets le savent. Négative, ça descend : elle est décroissante. Nulle, la tangente est horizontale : tu es peut-être au sommet ou au fond d'une cuvette. Peut-être seulement : un replat n'est un vrai sommet que si ça monte avant et que ça descend après.
Lance un ballon en cloche : tout en haut, pendant un instant, il ne monte plus et ne descend pas encore. Sa vitesse verticale vaut zéro. C'est en traquant ces zéros que les ingénieurs trouvent le moins de carburant ou le trajet le plus court. Entraîne-toi avec notre jeu des dérivées ; le chapitre complet t'attend dans les ressources de maths de Première.
Pour voir ça bouger : l'animation du tir parabolique, où la vitesse reste toujours tangente à la trajectoire.
Deux pères, une dispute (à dérivée nulle)
Vers 1665, le jeune Isaac Newton invente en Angleterre sa « méthode des fluxions »… sans la publier. Une dizaine d'années plus tard, l'Allemand Leibniz trouve la même idée de son côté et la publie en 1684. S'ensuit une querelle épique : accusations de plagiat, lettres assassines et, en 1712, une commission de la Royal Society chargée de trancher… dont le rapport est rédigé en douce par le président de ladite Royal Society, un certain Isaac Newton. Verdict : Newton a raison. Quelle surprise.
Aucun camp n'a bougé d'un millimètre pendant des années : une dispute à dérivée nulle, en somme. Aujourd'hui, on considère qu'ils ont trouvé chacun de leur côté, et tu utilises l'héritage des deux : le dy/dx de Leibniz, le petit point de Newton chez les physiciens… et le f′ de Lagrange, arrivé plus d'un siècle après. La définition rigoureuse de la limite attendra le XIXe siècle ; pour toi, ce sera en Terminale.
Si tu ne retiens qu'une chose
Une dérivée, c'est la vitesse à laquelle quelque chose change à un instant précis : la pente de la tangente. Ton compteur de vitesse, c'est une dérivée en direct sur ton tableau de bord.
Pour aller plus loin
- Dérivée (Wikipédia)
- Une histoire du calcul différentiel (MacTutor, université de St Andrews, en anglais)
- Cours, fiches et exercices corrigés : maths spécialité de Première et maths spécialité de Terminale.
Soufiane ISMAILI ALAOUI — ingénieur diplômé de l'INSA Lyon, passé par les classes préparatoires MP, professeur de mathématiques et de physique-chimie. Il donne des cours particuliers à domicile en Île-de-France et en ligne. Découvrir son parcours
