🎢 Du signe de la dérivée au tableau de variations
Imagine des montagnes russes : quand le wagon monte, la pente est positive ; quand il descend, elle est négative ; et tout en haut, pile au sommet, elle est nulle. La dérivée, c'est exactement cette pente ! Regarde les deux courbes l'une au-dessus de l'autre et tu ne confondras plus jamais f et f′.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les deux graphiques ont le même axe des abscisses : quand la courbe violette de f′ est au-dessus de l'axe (aire verte), la courbe de f monte (en vert) ; quand f′ est en dessous (aire rouge), f descend (en rouge).
- La tangente au point mobile a pour pente f′(x) : elle penche vers le haut quand f′(x) > 0, vers le bas quand f′(x) < 0, et elle est horizontale quand f′(x) = 0.
- Les pointillés orange relient chaque zéro de f′ à la courbe de f : si f′ change de signe, f a un maximum local (de + à −) ou un minimum local (de − à +).
- Piège de x³ : f′(0) = 0, la tangente est horizontale… mais f′ ne change pas de signe, donc f continue de monter : pas d'extremum !
- Avec x + 4/x, la valeur 0 est interdite : le tableau de variations a une double barre, et les flèches ne la traversent pas.
Expériences à faire
- Avec x³ − 3x, promène le point : à quels endroits la tangente est-elle horizontale ? Lis-le aussi sur la courbe de f′.
- Active la 🙈 devinette avec −2x³ + 3x² + 12x − 5 : remplis les flèches du tableau en ne lisant que la courbe de f′, puis vérifie.
- Avec x⁴ − 2x², combien de fois f′ s'annule-t-elle ? Combien d'extremums locaux trouves-tu ?
- Tape ta fonction (✏️), par exemple x³ − 6x² + 9x : calcule f′ à la main, factorise-la, puis compare ton tableau avec celui de l'animation.
- Choisis une fenêtre d'étude plus petite pour ta fonction : le tableau change-t-il ? Les valeurs aux bornes aussi ?
Les maths derrière l'animation
- Si f′(x) > 0 pour tout x d'un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I ; si f′(x) < 0 sur I, f est strictement décroissante sur I ; si f′ = 0 sur I, f est constante sur I.
- Si f′ s'annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0 : un maximum si f′ passe de + à −, un minimum si f′ passe de − à +.
- Méthode : calculer f′(x), étudier son signe (factoriser, discriminant…), puis en déduire le tableau de variations, en y ajoutant les valeurs de f aux bornes et aux extremums.
- Exemple : f(x) = −2x³ + 3x² + 12x − 5, f′(x) = −6x² + 6x + 12 = −6(x + 1)(x − 2). f′ < 0 à l'extérieur de [−1 ; 2] et f′ > 0 à l'intérieur : minimum f(−1) = −12, maximum f(2) = 15.
- Tangente en a : y = f′(a)(x − a) + f(a). Elle est horizontale exactement quand f′(a) = 0.
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