🦁 Le zoo des nombres : entiers, décimaux, rationnels et réels
Bienvenue au zoo des nombres ! Les entiers naturels vivent dans le plus petit enclos, les irrationnels comme √2 ou π dans le plus grand. Lâche un nombre à l'entrée : il traverse les enclos un par un… jusqu'à ce qu'un gardien lui dise « toi, tu ne rentres pas ! ».
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les enclos sont emboîtés : tout entier naturel est un entier relatif, tout entier est un décimal, tout décimal est un rationnel et tout rationnel est un réel. C'est la chaîne ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
- Le nombre s'arrête dans le plus petit ensemble qui l'accepte, et la fiche de droite justifie chaque étape : fraction irréductible, écriture a/10n, développement décimal fini ou périodique.
- Une même valeur peut se cacher sous plusieurs écritures : −12/4 a l'air d'une fraction, mais c'est l'entier −3 ; √49 a l'air d'une racine, mais c'est 7.
- Dans le mode √n, la loupe zoome sur la règle graduée en 1/q : même agrandie des milliers de fois, la graduation p/q ne tombe jamais pile sur √2, car p² et 2q² ne sont jamais égaux.
Expériences à faire
- Compare 3/4 et 1/3 : pourquoi l'un est-il décimal et l'autre non ? Regarde le dénominateur de la fraction irréductible.
- Tape 1/7 puis 22/7 : quelle est la période de leur écriture décimale ?
- 3,14 et π, c'est pareil ? Range-les tous les deux et compare les enclos où ils s'arrêtent.
- Dans le mode √2, clique plusieurs fois sur « Meilleure fraction suivante » : que remarques-tu sur p² − 2q² ?
- Choisis √9 puis √10 : pourquoi l'une « tombe juste » et pas l'autre ?
Les maths derrière l'animation
- ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; …} (entiers naturels) ; ℤ = {… ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; …} (entiers relatifs).
- 𝔻 (décimaux) : les nombres qui s'écrivent a/10n avec a ∈ ℤ et n ∈ ℕ. Une fraction irréductible p/q est décimale si et seulement si q ne contient que des facteurs 2 et 5.
- ℚ (rationnels) : les quotients p/q avec p ∈ ℤ et q ∈ ℕ*. Leur écriture décimale est finie ou périodique (1/3 = 0,333…, 1/7 = 0,142857 142857…).
- ℝ (réels) : les abscisses de tous les points d'une droite graduée. Les réels qui ne sont pas rationnels sont les irrationnels : √2, √3, π…
- √2 est irrationnel (raisonnement par l'absurde) : si √2 = p/q irréductible, alors p² = 2q², donc p est pair ; p = 2k donne q² = 2k², donc q est pair aussi : contradiction.
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