📏 La droite numérique : intervalles et valeur absolue
Un crochet tourné vers le nombre l'invite à entrer, un crochet tourné vers l'extérieur lui claque la porte au nez ! Sur cette droite numérique, c'est toi le videur : tu places les bornes, tu retournes les crochets, et un point test x vient vérifier s'il a le droit d'entrer.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Un intervalle est un « morceau » de la droite numérique. Le crochet tourné vers le nombre veut dire que ce nombre est inclus ; tourné vers l'extérieur, il est exclu. Du côté de −∞ ou de +∞, le crochet est toujours ouvert.
- Avec deux intervalles I et J, la rangée violette I ∩ J ne garde que les nombres qui sont dans I et dans J ; la rangée verte I ∪ J garde ceux qui sont dans I ou dans J. Le point test x est coché ou barré sur chaque rangée.
- En mode distance, la longueur AB se lit sur la règle orange : AB = |b − a|. La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro : |a| = OA, toujours positive ou nulle.
- En mode centre et rayon, les deux flèches violettes de longueur r partent du centre c : les nombres x tels que |x − c| ≤ r sont exactement ceux de l'intervalle [c − r ; c + r].
Expériences à faire
- Choisis la situation « Sous la moyenne » : 10 est-il dans l'intervalle ? Clique sur le crochet de droite pour le retourner : que change-t-il ?
- Ajoute un intervalle J : peux-tu obtenir une intersection vide ? Une réunion en deux morceaux ? Une intersection réduite à un seul nombre ?
- En mode distance, place A en −2 et B en 3 puis échange-les : la distance AB change-t-elle ? Pourquoi écrit-on |b − a| et pas b − a ?
- En mode centre, passe de « ≤ » à « ≥ » : que devient l'ensemble des solutions ? Et avec un rayon r = 0 ?
- Tape tes propres valeurs (clique sur un nombre) : quel intervalle décrit « avoir entre 12 et 17 ans inclus » ?
Les maths derrière l'animation
- Intervalles bornés : [a ; b] est l'ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b ; ]a ; b[ celui des x tels que a < x < b ; [a ; b[ et ]a ; b] sont semi-ouverts. Intervalles non bornés : [a ; +∞[ pour x ≥ a, ]−∞ ; b[ pour x < b, et ]−∞ ; +∞[ = ℝ.
- Intersection et réunion : x ∈ I ∩ J ⟺ x ∈ I et x ∈ J ; x ∈ I ∪ J ⟺ x ∈ I ou x ∈ J. Une intersection peut être vide (∅) ou réduite à un seul nombre.
- Valeur absolue : |x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x < 0. C'est la distance entre x et 0 sur la droite numérique.
- Distance entre deux réels : d(a ; b) = |b − a| = |a − b|. Pour deux points A(a) et B(b) de la droite, AB = |b − a|.
- Centre et rayon : pour r ≥ 0, |x − c| ≤ r ⟺ c − r ≤ x ≤ c + r ⟺ x ∈ [c − r ; c + r] ; et |x − c| ≥ r ⟺ x ≤ c − r ou x ≥ c + r.
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