✖️ Dérivée d'un produit et d'un quotient : le rectangle
Pourquoi la dérivée d'un produit n'est-elle pas le produit des dérivées ? Parce qu'un rectangle qui grandit gagne DEUX bandes, pas une ! Fais pousser le rectangle de côtés u et v, regarde le petit coin rouge fondre quand h devient minuscule… et la formule u′v + uv′ apparaît toute seule.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le produit u × v est l'aire du rectangle bleu. Quand x augmente de h, la largeur augmente de Δu et la hauteur de Δv : l'aire gagne une bande orange (v × Δu), une bande verte (u × Δv) et un petit coin rouge (Δu × Δv).
- Les barres montrent Δf/h morceau par morceau. Quand h diminue, la barre orange tend vers u′v, la barre verte vers uv′, et la barre rouge s'écrase vers 0 : le coin est « deux fois petit ».
- Sur la courbe de f, la sécante grise se rapproche de la tangente violette, dont la pente est f′(a) = u′(a)v(a) + u(a)v′(a).
- Quand v diminue (exemple v(x) = 3 − x), la bande verte est hachurée : elle compte négativement et l'aire perd un morceau.
- En mode quotient, q = u/v est la largeur d'un rectangle de hauteur v et d'aire u : le même découpage donne q′ = (u′v − uv′)/v².
Expériences à faire
- Avec u(x) = x² et v(x) = x + 1, calcule f′(2) avec la formule, puis vérifie en mode exercice.
- Prends h = 1, puis h = 0,1, puis h = 0,001 : comment évolue la barre rouge par rapport aux deux autres ?
- Avec u(x) = eˣ et v(x) = x, trouve le point où les deux bandes ont la même aire. Que se passe-t-il pour la courbe de u/v en ce point ?
- Passe en mode quotient avec u(x) = x et v(x) = x² + 1 : où la dérivée de u/v est-elle nulle ? Vérifie avec la formule.
- Avec « ✏️ Mes fonctions », tape u(x) = 1 : retrouves-tu la formule (1/v)′ = −v′/v² ?
Les maths derrière l'animation
- Si u et v sont dérivables en a, alors u × v aussi et (uv)′ = u′v + uv′. Attention : (uv)′ n'est pas u′ × v′ !
- Pourquoi : Δ(uv) = v Δu + u Δv + Δu Δv. On divise par h : Δ(uv)/h = v × Δu/h + u × Δv/h + (Δu/h) × Δv, et quand h → 0, Δu/h → u′, Δv/h → v′ et Δv → 0.
- Cas particuliers : (k u)′ = k u′ pour une constante k, et (u²)′ = 2 u u′. Exemple : f(x) = x²(x + 1) donne f′(x) = 2x(x + 1) + x² × 1 = 3x² + 2x.
- Si v(a) ≠ 0 : (u/v)′ = (u′v − uv′) / v² et (1/v)′ = −v′/v². Exemple : (x/(x² + 1))′ = (1 − x²)/(x² + 1)².
- La dérivée de u/v s'annule là où u′v = uv′ : c'est souvent là que se trouve un maximum ou un minimum du quotient.
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