📈 De la sécante à la tangente : le nombre dérivé
Une tangente, c'est une droite qui frôle la courbe sans la couper… enfin, presque. Prends deux points A et B sur la courbe, trace la sécante (AB), puis rapproche B de A jusqu'à ce qu'ils deviennent inséparables : la sécante tourne et devient la tangente. Sa pente porte un nom qui fait peur mais qui est très gentil : le nombre dérivé.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La pente de la sécante (AB) est le taux d'accroissement (f(a + h) − f(a)) / h : on lit h sur le côté horizontal du petit triangle orange, et f(a + h) − f(a) sur son côté vertical.
- Quand h tend vers 0 (bouton « Faire tendre h vers 0 »), la sécante orange se colle à la tangente verte : le taux d'accroissement tend vers le nombre dérivé f′(a).
- Là où la courbe monte, la tangente a une pente positive ; là où elle descend, une pente négative ; au sommet d'une bosse ou au fond d'un creux, elle est horizontale : f′(a) = 0.
- Avec la courbe dérivée activée, A dépose le point (a ; f′(a)) partout où il passe : la courbe violette obtenue est celle de la fonction dérivée f′.
Expériences à faire
- Avec x², au point a = 1, relève le taux d'accroissement pour h = 1, puis 0,1, puis 0,01 : vers quelle valeur va-t-il ? Est-ce bien 2a ?
- Fais glisser B à gauche de A (h négatif) : la sécante tend-elle vers la même tangente ?
- Avec x³ − 3x, où la courbe dérivée violette coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Que fait la courbe de f à ces endroits ?
- Avec eˣ, que remarques-tu en traçant la courbe dérivée ? Et avec ln x, à quelle fonction ressemble-t-elle ?
Les maths derrière l'animation
- Taux d'accroissement de f entre a et a + h : τ(h) = (f(a + h) − f(a)) / h. C'est le coefficient directeur de la sécante (AB).
- f est dérivable en a si τ(h) a une limite finie quand h tend vers 0 : cette limite est le nombre dérivé f′(a) = limh→0 (f(a + h) − f(a)) / h.
- Équation de la tangente en A : y = f′(a)(x − a) + f(a). Si f′(a) = 0, la tangente est horizontale.
- Dérivées usuelles : (x²)′ = 2x ; (x³)′ = 3x² ; (sin x)′ = cos x ; (eˣ)′ = eˣ ; (ln x)′ = 1/x ; (1/x)′ = −1/x².
- Si f′ > 0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f′ < 0, f y est décroissante.
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