🦠 Bactéries : croissance exponentielle ou logistique ?
Une seule bactérie Escherichia coli se coupe en deux toutes les 20 minutes. Au bout de 10 heures, ses descendantes seraient plus d'un milliard… et au bout de deux jours, elles pèseraient plus lourd que la Terre ! Heureusement, la nourriture finit par manquer. Remplis la boîte de Petri et regarde l'exponentielle foncer droit dans le mur.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Au microscope, chaque bactérie s'allonge, se coupe en deux, puis ses deux filles recommencent : 1, 2, 4, 8, 16… Le nombre de bactéries est multiplié par 2 à chaque temps de génération τ.
- Pendant longtemps, on ne voit presque rien dans la boîte, puis tout se remplit en quelques générations : c'est le piège de l'exponentielle. La boîte est à moitié pleine une seule génération avant d'être pleine !
- Sur le graphique, les points ronds sont les termes de la suite géométrique N0 × 2n aux instants t = nτ ; la courbe orange de N0 ekt passe exactement par eux.
- Le modèle exponentiel suppose une nourriture illimitée : il dépasse la capacité K et la boîte « déborde ». Le modèle logistique (courbe bleue) colle à l'exponentielle au début, puis ralentit et plafonne à K.
- En échelle logarithmique, l'exponentielle devient une droite : c'est ainsi que les biologistes repèrent la phase de croissance exponentielle.
Expériences à faire
- Avec E. coli, combien de bactéries y a-t-il après 1 h ? Après 2 h ? Par combien le nombre est-il multiplié à chaque heure ?
- Calcule k = ln 2 / τ pour E. coli, puis vérifie que N0 ekt donne bien le même résultat que N0 × 2t/τ.
- Compare E. coli et le bacille de la tuberculose : combien de temps faut-il à chacune pour remplir la boîte ?
- Double N0 : la boîte se remplit-elle deux fois plus vite, ou seulement une génération plus tôt ?
- Avec « ✏️ Mes valeurs », mets N0 plus grand que K : que fait la population dans le modèle logistique ?
Les maths derrière l'animation
- Si chaque bactérie se divise en deux toutes les τ minutes (temps de génération), après n générations : Nn = N0 × 2n (suite géométrique de raison 2).
- À l'instant t, n = t/τ donc N(t) = N0 × 2t/τ = N0 ekt avec k = ln 2 / τ, car 2 = eln 2. Exemple : τ = 20 min donne k ≈ 0,0347 min−1.
- La fonction N vérifie N′(t) = k N(t) : la vitesse de croissance est proportionnelle au nombre de bactéries. Le temps de doublement est constant : N(t + τ) = 2 N(t).
- Modèle logistique (Verhulst) quand la nourriture ne suffit que pour K bactéries : N′ = k N (1 − N/K), dont la solution est N(t) = K / (1 + (K/N0 − 1) e−kt). Elle tend vers K : c'est le plateau.
- En échelle logarithmique, log N(t) = log N0 + (t/τ) log 2 est une fonction affine de t : la croissance exponentielle se voit comme une droite.
D'autres animations
La droite numérique : intervalles et valeur absolue
Fais glisser les bornes, retourne les crochets, croise deux intervalles : I ∩ J, I ∪ J, distance |b − a| et |x − c| ≤ r en direct.
Manipuler →Le zoo des nombres : entiers, décimaux, rationnels et réels
Range n'importe quel nombre dans les enclos emboîtés ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ, puis pars à la chasse à la fraction qui vaudrait √2.
Manipuler →L'équation et la balance
Résous ax + b = cx + d sur une balance : agis sur les deux plateaux pour isoler le sac x… et regarde-la pencher si tu triches !
Manipuler →Et maintenant, on passe aux choses sérieuses ? 😉
ExpoSinus est un site d'éducation : les jeux et les articles sont là pour donner envie, les cours et les exercices pour progresser vraiment.