📈 De la suite géométrique à la fonction exponentielle
Une suite géométrique, c'est un escalier où chaque marche multiplie la hauteur par le même nombre q. Et si on mettait des marches de plus en plus petites ? Les points tombent du ciel et se rangent sagement sur une courbe parfaitement lisse : l'exponentielle était cachée dans l'escalier depuis le début !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les termes un (points orange) forment un escalier : chaque marche multiplie la hauteur par q = ek, comme le confirme la dernière colonne du tableau (rapport constant).
- Quand tu ajoutes p points entre deux entiers, chaque petit pas multiplie par ek/p : les nouveaux points bleus tombent et se posent tous sur la même courbe, celle de x ↦ u0 ekx.
- Avec la règle, peu importe où tu la poses : la hauteur est toujours multipliée par le même nombre ekb. C'est la propriété ea+b = ea × eb.
- Les tangentes à la courbe coupent toutes l'axe des abscisses à la même distance 1/k du point de contact : la pente est proportionnelle à la hauteur (f′ = k f).
- Si k < 0, la raison q est entre 0 et 1 : l'escalier descend vers 0 sans jamais l'atteindre, comme la radioactivité ou un café qui refroidit.
Expériences à faire
- Avec k = 1, augmente p jusqu'à 50 : peux-tu encore distinguer les points de la courbe ?
- Quelle valeur de k donne une suite qui double à chaque pas ? Et une suite qui est divisée par 2 ?
- Pose la règle de longueur b = 1 à plusieurs endroits avec k = 1 : par combien la hauteur est-elle multipliée à chaque fois ?
- Avec la règle, trouve b tel que eb = 10. Vérifie ensuite que deux règles de longueur b mises bout à bout multiplient par 100.
- Avec k = 1, où la tangente en M coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Et pour k = 2 ? Et pour k = −0,5 ?
Les maths derrière l'animation
- Une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q vérifie un+1 = q × un, donc un = u0 × qn.
- Pour tout réel k, la suite (ekn) est géométrique de raison ek, car ek(n+1) = ekn × ek. Ses termes sont des points de la courbe de x ↦ ekx.
- Relation fonctionnelle : ea+b = ea × eb. On en déduit e−a = 1/ea, ea−b = ea/eb et (ea)n = ena ; de plus ex > 0 pour tout réel x.
- La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp′ = exp et exp(0) = 1. Plus généralement, (ekx)′ = k ekx : la pente est proportionnelle à la hauteur.
- Si k > 0, x ↦ ekx est strictement croissante ; si k < 0, elle est strictement décroissante. Exemple : e ≈ 2,718, e0,5 ≈ 1,649 et e−1 ≈ 0,368.
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