🏸 Volant de badminton : frottement f = k v² et vitesse limite
Le volant de badminton détient le record de l'objet frappé le plus vite de tous les sports de raquette… et pourtant il ne va jamais bien loin. Frappe-le en même temps qu'une balle de tennis et qu'un projectile sans frottement, et regarde l'air faire la loi.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Au départ, le frottement f = k v² est énorme : la flèche rouge f peut être 50 ou 100 fois plus longue que le poids P. Le volant perd presque toute sa vitesse en quelques dixièmes de seconde : les points de la chronophotographie se resserrent très vite.
- Le graphe v(t) du volant plonge puis s'aplatit sur la ligne en pointillés vlim : quand f = P, la somme des forces est nulle et la vitesse ne change plus.
- La trajectoire n'est plus une parabole symétrique : elle monte presque en ligne droite, puis retombe presque verticalement (« à pic »), à la vitesse limite. Sans frottement, le même coup partirait à des dizaines de mètres.
- La balle de tennis, plus lourde pour sa taille, a une vitesse limite trois fois plus grande : l'air la freine beaucoup moins, sa trajectoire reste proche d'une parabole et elle va beaucoup plus loin.
- Avec frottement, l'angle qui donne la plus grande portée n'est plus 45° : pour un volant frappé fort, il faut viser nettement plus bas.
Expériences à faire
- Double la vitesse de frappe d'un dégagé : le volant va-t-il deux fois plus loin ? Et la balle sans frottement ?
- Compare l'angle de chute du volant et celui de la parabole sans frottement : lequel arrive le plus à la verticale ? Pourquoi ?
- Remplace la balle de tennis par une balle de ping-pong : sa trajectoire ressemble-t-elle plutôt à celle du volant ou à la parabole ? Compare les vitesses limites.
- Dans « ✏️ Mon volant », double la masse sans changer la forme : k ne change pas, que devient vlim = √(m g / k) ? Vérifie que la portée augmente.
- Sur un smash, combien de temps faut-il pour que la vitesse du volant soit divisée par 2 ? Lis-le sur le graphe v(t).
La physique derrière l'animation
- Le volant subit son poids P = m g et la force de frottement de l'air f = −k v v, opposée à la vitesse, de valeur f = k v² (frottement « quadratique », valable aux vitesses élevées).
- Deuxième loi de Newton : m dv/dt = m g − k v v. Cette équation différentielle n'a pas de solution simple en deux dimensions : on la résout numériquement, pas à pas (méthode de Runge-Kutta).
- Vitesse limite : quand f = P, l'accélération est nulle. k vlim² = m g donne vlim = √(m g / k) ≈ 6,8 m/s pour un volant (m ≈ 5 g), ≈ 22 m/s pour une balle de tennis.
- Rapport des forces : f / P = (v / vlim)². Frappé à 50 m/s, le volant subit un frottement environ 54 fois plus grand que son poids ; à vlim, les deux forces se compensent (principe d'inertie).
- Sans frottement, a = g et la trajectoire est une parabole symétrique de portée maximale à 45° (depuis le sol). Avec frottement, la trajectoire est dissymétrique et l'angle optimal est plus petit. Modèle : volant toujours orienté bouchon en avant, sans vent.
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