🏎️ Vitesse et accélération sur une trajectoire courbe
Dans un virage, même à vitesse constante, tu accélères ! Pilote un mobile sur un circuit, une ellipse, un huit ou sur les équations horaires que tu inventes : le vecteur vitesse colle à la trajectoire, et le vecteur accélération se penche vers l'intérieur du virage, vers l'avant quand tu accélères et vers l'arrière quand tu freines.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le vecteur vitesse v (en bleu marine) est toujours tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.
- Dès que la trajectoire tourne, le vecteur accélération a (en vert) pointe vers l'intérieur du virage, même si la vitesse ne change pas : sa composante normale vaut v²/R.
- Sa composante tangentielle at = dv/dt dit si le mobile accélère (a penche vers l'avant) ou ralentit (a penche vers l'arrière).
- Le cercle de courbure épouse la trajectoire au point M : plus le virage est serré, plus son rayon R est petit et plus an = v²/R est grand.
- Dans l'encadré de droite, les vecteurs vitesse sont ramenés à la même origine : a est la « vitesse » de la pointe de v, et Δv/Δt se rapproche de a quand Δt diminue.
Expériences à faire
- Sur le circuit, roule à vitesse constante : où l'accélération est-elle nulle ? Où est-elle la plus grande ?
- Double ta vitesse dans un virage : par combien l'accélération normale est-elle multipliée ?
- Freine en plein virage : de quel côté penche le vecteur accélération ?
- Choisis le tir parabolique : que remarques-tu sur le vecteur a tout au long du vol ?
- Avec « ✏️ Mes équations horaires », tape x(t) = 3cos(t) et y(t) = 3sin(t) : vers où pointe a ? Et avec 3cos(2t), 3sin(2t) ?
La physique derrière l'animation
- Vecteur position OM(t) = x(t)·i + y(t)·j ; vecteur vitesse v = dOM/dt (vx = dx/dt, vy = dy/dt), tangent à la trajectoire ; v = √(vx² + vy²).
- Vecteur accélération a = dv/dt (ax = dvx/dt, ay = dvy/dt) : c'est la limite de Δv/Δt quand Δt tend vers 0.
- Repère de Frenet : a = (dv/dt)·ut + (v²/R)·un, où ut est tangent, un pointe vers l'intérieur du virage et R est le rayon de courbure.
- Mouvement uniforme (v constante) : a est perpendiculaire à v ; mouvement rectiligne : a est parallèle à v ; a = 0 seulement en ligne droite à vitesse constante.
- Rayon de courbure d'une trajectoire x(t), y(t) : 1/R = |x′·y″ − y′·x″| / (x′² + y′²)3/2 ; pour un cercle, R est son rayon.
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