🚰 La vidange d'un réservoir (Torricelli)
Perce un trou dans un seau d'eau : plus il est plein, plus le jet va loin ! En 1643, Evangelista Torricelli a compris que l'eau sort aussi vite que si elle tombait librement de la surface jusqu'au trou. Règle la taille de l'orifice, chronomètre la vidange… puis perce trois trous et devine lequel arrose le plus loin.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La vitesse de sortie ne dépend que de la hauteur d'eau h au-dessus du trou : v = √(2gh), exactement la vitesse d'une goutte qui tomberait de la hauteur h.
- Quand le niveau baisse, le jet sort moins vite : sa parabole se replie vers le réservoir et le débit diminue. La vidange ralentit au fil du temps.
- La courbe h(t) est un arc de parabole qui arrive tangentiellement à zéro : la dernière moitié de la hauteur met plus longtemps à s'écouler que la première.
- Avec trois trous et un niveau constant, le trou du bas a l'eau la plus rapide mais tombe vite au sol, le trou du haut tombe de haut mais sort lentement : c'est le trou à mi-hauteur qui envoie l'eau le plus loin.
- Deux trous placés symétriquement par rapport à la mi-hauteur (z et H − z) envoient leurs jets exactement au même endroit !
Expériences à faire
- Divise le diamètre de l'orifice par 2 : le temps de vidange est-il multiplié par 2 ou par 4 ? Pourquoi ? Avec « ✏️ Mes valeurs », double plutôt le diamètre du réservoir, ou change g : prévois le nouveau temps de vidange avant de lancer.
- Mesure le temps que met le niveau pour passer de 60 cm à 15 cm, puis de 15 cm à 0 : lequel est le plus long ?
- Note h et Q au départ, puis quand h a été divisée par 4 : par combien le débit a-t-il été divisé ?
- Avec trois trous et un niveau H = 60 cm, où placer un trou pour que son jet aille le plus loin ? Quelle est alors la portée ?
La physique derrière l'animation
- Formule de Torricelli : la relation de Bernoulli entre la surface libre (pression Patm, vitesse négligeable) et l'orifice (pression Patm) donne ½ρv² = ρgh, soit v = √(2gh).
- Débit volumique : Q = s·v = s·√(2gh), où s est la section de l'orifice. Il est proportionnel à √h : quand h est divisée par 4, Q est divisé par 2.
- Vidange : la conservation du volume donne S·dh/dt = −s·√(2gh). Alors √h décroît linéairement : h(t) = (√H − (s/S)·√(g/2)·t)², et le temps de vidange vaut tv = (S/s)·√(2H/g).
- Jet : l'eau sort horizontalement à la vitesse v puis tombe en chute libre (parabole). Pour un trou à la hauteur z sous un niveau H, elle touche le sol à x = 2√(z(H − z)), maximal pour z = H/2 (x = H).
- Modèle simplifié : fluide parfait, écoulement quasi permanent, orifice petit devant le réservoir (s ≪ S), pas de contraction du jet. Un vrai jet est plus mince que l'orifice et sort un peu moins vite.
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