➡️ Vecteurs et translations : somme et relation de Chasles
Un vecteur, c'est un ordre de déplacement : « 4 pas à droite, 1 pas vers le haut ». Donne cet ordre à une maison, un voilier ou un poisson : chacun de ses points obéit exactement pareil, et la figure glisse sans tourner ni se déformer. Enchaîne deux ordres, puis prends le raccourci : tu arrives au même endroit, c'est la relation de Chasles !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Pendant la translation de vecteur u, toutes les flèches qui relient un point M à son image M' sont égales : même direction, même sens, même longueur. C'est pour cela que la figure ne tourne pas et ne change pas de taille.
- Le quadrilatère ABM'M (en orange pâle) est toujours un parallélogramme : dire que MM' = AB, c'est exactement cela.
- Le cadre « 📐 Formules » calcule les coordonnées de AB avec xB − xA et yB − yA, puis l'image M'(x + a ; y + b) et la norme √(x² + y²) en direct.
- En mode somme, la figure orange fait le trajet en deux étapes (u puis v) et la figure violette va tout droit (u + v) : elles arrivent ensemble au même endroit. C'est la relation de Chasles AB + BC = AC.
- Avec la règle du parallélogramme, on voit que u + v = v + u : la somme est la diagonale AC du parallélogramme ABCD.
Expériences à faire
- Déplace le point A sans toucher à B − A : la figure image bouge-t-elle ? Pourquoi ?
- Quel vecteur faut-il pour ramener l'image F' sur la figure F ? Quelles sont ses coordonnées ?
- En mode somme, prends v = −u : où arrive la figure ? Que vaut AC ?
- Trouve deux vecteurs u et v de norme 5 dont la somme a pour norme 10. Puis une somme de norme 0. Que remarques-tu ?
- Choisis « ✏️ Mon triangle MNP », tape tes propres coordonnées et calcule à la main les coordonnées de M' avant de regarder la réponse.
Les maths derrière l'animation
- Dans un repère, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors AB (xB − xA ; yB − yA). En repère orthonormé, la norme de u(x ; y) est ‖u‖ = √(x² + y²), et AB = ‖AB‖.
- La translation de vecteur u transforme M en M' tel que MM' = u. Si u(a ; b), l'image de M(x ; y) est M'(x + a ; y + b). Dire que MM' = AB, c'est dire que ABM'M est un parallélogramme (éventuellement aplati).
- Relation de Chasles : pour tous points A, B, C, AB + BC = AC. Translater de u puis de v revient à translater de u + v.
- Coordonnées : si u(x ; y) et v(x′ ; y′), alors u + v (x + x′ ; y + y′), −v (−x′ ; −y′) et u − v = u + (−v) (x − x′ ; y − y′). Règle du parallélogramme : AB + AD = AC quand ABCD est un parallélogramme.
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