🥾 Le tableau de variations et les extremums
Une courbe, c'est un paysage de montagne : des montées, des descentes, des sommets et des creux. Suis le randonneur sur le sentier de la fonction : à chaque sommet il plante un drapeau, à chaque creux un fanion, et il note tout dans son carnet… qui n'est autre que le tableau de variations !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Quand le randonneur monte, la courbe devient verte : f est croissante sur ce morceau (si x augmente, f(x) augmente). Quand il descend, elle devient rouge : f est décroissante.
- À chaque changement de sens, il plante un drapeau : un sommet est un maximum local, un creux un minimum local. Leurs valeurs s'écrivent en haut et en bas du tableau de variations.
- Une fois la randonnée finie, le maximum M et le minimum m de f sur l'intervalle I = [a ; b] sont mis en valeur : ce sont la plus grande et la plus petite valeur de f(x) quand x parcourt tout I.
- Le maximum sur I n'est pas forcément un sommet : quand on élargit l'intervalle, il peut être atteint à une borne, au bout du chemin.
- Le cadre « 📐 Formules » donne les définitions et les illustre avec deux nombres pris là où se trouve le randonneur : x₁ < x₂ et la comparaison de f(x₁) et f(x₂).
Expériences à faire
- Avec la fonction du cours sur [−2,5 ; 2], le maximum 4 est atteint deux fois : où ? Retrouve ces deux points dans le tableau.
- Déplace les bornes [ et ] pour que f soit monotone (toujours croissante ou toujours décroissante) : que devient le tableau de variations ?
- Avec f(x) = 1/x sur [0,25 ; 4], f a-t-elle un extremum local ? Où sont son maximum et son minimum ?
- Avec la « pointe » |x − 1|, où le minimum est-il atteint ? La courbe y est-elle arrondie comme une parabole, ou fait-elle un angle ?
- Tape ta propre fonction (✏️), par exemple x³ − 12x, et prévois le tableau de variations avant de lancer la randonnée.
Les maths derrière l'animation
- f est croissante sur un intervalle I si, pour tous x₁ et x₂ de I, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) ; elle est décroissante si x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂). Elle est monotone si elle ne change pas de sens sur I.
- Le tableau de variations résume le sens de variation : une flèche montante sur chaque intervalle où f est croissante, descendante où elle est décroissante, avec les valeurs de f aux bornes et aux changements de sens.
- M est le maximum de f sur I si f(x) ≤ M pour tout x de I et s'il existe x₀ dans I tel que f(x₀) = M. De même, m est le minimum si f(x) ≥ m pour tout x de I, avec m atteint.
- Un maximum local (sommet) est le plus grand sur un petit intervalle autour du point ; ce n'est pas toujours le maximum sur tout I, qui peut être atteint à une borne.
- Exemple du cours : f(x) = x³ − 3x + 2 est croissante sur [−2,5 ; −1], décroissante sur [−1 ; 1], croissante sur [1 ; 2] ; sur [−2,5 ; 2], son maximum vaut 4 (en −1 et en 2) et son minimum −6,125 (en −2,5).
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