🎡 Variable aléatoire et espérance : le jeu est-il équitable ?
Le forain te jure que sa roue est « super généreuse ». Vraiment ? Une partie coûte 2 €, mais on peut gagner 10 € ! Avant de vider ta tirelire, calcule l'espérance de ton gain… puis fais tourner la roue 10 000 fois pour voir qui finit riche : toi ou le forain.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le gain algébrique X = lot − mise est une variable aléatoire : à chaque partie, il prend une des valeurs xi du tableau, avec la probabilité pi = (nombre de secteurs du lot) ÷ (nombre total de secteurs).
- Dans le diagramme, les barres bleues sont les probabilités et les barres orange les fréquences observées : plus on joue, plus elles se ressemblent.
- Le graphique montre la moyenne des gains x̄N après N parties (échelle logarithmique) : très agitée au début, elle se stabilise autour de l'espérance E(X), la ligne verte. C'est la loi des grands nombres.
- Changer la mise m décale toutes les valeurs de X, donc E(X), mais ne change pas l'écart-type σ(X) : la « dispersion » du jeu reste la même.
- Le ticket à gratter montre un jeu à gros lot très rare : E(X) est négative, mais σ(X) est grand, d'où l'espoir (souvent déçu) de gagner gros.
Expériences à faire
- Avec la roue du forain, calcule E(X) à la main, puis trouve la mise qui rend le jeu équitable.
- Joue 100 parties, puis 10 000 : de combien la moyenne des gains s'écarte-t-elle de E(X) dans chaque cas ?
- Le dé avec une mise de 1 € : le jeu est-il favorable au joueur ? Quelle mise le forain doit-il fixer pour gagner 0,50 € par partie en moyenne ?
- Deux pièces : vérifie que le jeu est équitable. Est-ce que tu gagnes pour autant 0 € à chaque partie ?
- Avec « ✏️ Mon jeu », invente deux jeux équitables : un tranquille (σ petit) et un très risqué (σ grand).
Les maths derrière l'animation
- Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue. Sa loi donne les valeurs x1, …, xn et les probabilités pi = P(X = xi), avec p1 + p2 + … + pn = 1.
- Espérance : E(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn = Σ xipi. C'est la valeur moyenne de X sur un très grand nombre de répétitions.
- Variance : V(X) = Σ pi(xi − E(X))² = E(X²) − E(X)², et écart-type σ(X) = √V(X) : ils mesurent la dispersion de X autour de E(X).
- Si X est le gain algébrique d'un jeu : le jeu est équitable si E(X) = 0, favorable au joueur si E(X) > 0, défavorable si E(X) < 0.
- Linéarité : E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a²V(X). Ici X = lot − m, donc E(X) = E(lot) − m et σ(X) = σ(lot).
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