📐 Cosinus, sinus, tangente dans le triangle rectangle
Comment Thalès a-t-il mesuré la hauteur de la grande pyramide sans échelle ? Avec un triangle rectangle et un peu de malice ! Ici, tu déformes un triangle, tu l'agrandis, et tu vérifies que certains rapports ne bougent pas d'un poil. Ensuite, à toi de mesurer un arbre, un clocher ou la tour Eiffel… depuis le sol.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les trois côtés ont chacun leur couleur : l'hypoténuse (violet) est en face de l'angle droit, le côté adjacent (bleu) touche l'angle α, le côté opposé (orange) est en face de α.
- Quand tu agrandis le triangle sans changer l'angle (point C), toutes les longueurs changent, mais les barres cos α, sin α et tan α ne bougent pas : les triangles semblables ont les mêmes rapports.
- Quand l'angle α augmente, cos α diminue, sin α augmente, et tan α s'envole vers l'infini quand α approche 90°.
- Pour la hauteur inaccessible, la ligne de visée devient verte quand elle passe par le sommet : on connaît alors α et d, et la tangente donne la hauteur.
- Dans le quart de cercle de rayon 1, les deux carrés construits sur les côtés de l'angle droit ont toujours une aire totale de 1 : c'est Pythagore, cos² α + sin² α = 1.
Expériences à faire
- Avec α = 35° et AC = 8 cm, calcule BC et AB à la main, puis vérifie sur le dessin.
- Agrandis le triangle trois fois en gardant le même angle : quelles longueurs changent ? Quels rapports restent identiques ?
- Pour quel angle a-t-on cos α = sin α ? Que vaut alors tan α ?
- Mesure la hauteur de la tour Eiffel en te plaçant à 400 m : quel angle lis-tu ? Et à 200 m ?
- Sachant que cos α = 0,6 avec α aigu, calcule sin α et tan α sans calculer α, puis vérifie avec le quart de cercle.
Les maths derrière l'animation
- Dans un triangle ABC rectangle en C, pour l'angle aigu α = BAC : cos α = AC/AB (adjacent/hypoténuse), sin α = BC/AB (opposé/hypoténuse), tan α = BC/AC (opposé/adjacent). Moyen mnémotechnique : CAH SOH TOA.
- Ces rapports ne dépendent que de l'angle α : deux triangles rectangles ayant un même angle aigu sont semblables (l'un est un agrandissement de l'autre), donc leurs côtés sont proportionnels.
- Pour retrouver un angle, on utilise les touches cos−1, sin−1 ou tan−1 de la calculatrice (en degrés) : α = arctan(BC/AC). Exemple : BC = 3 et AC = 4 donnent α ≈ 36,9°.
- Hauteur inaccessible : avec un angle de visée α, une distance d au pied de l'objet et des yeux à la hauteur h0, tan α = (H − h0)/d, donc H = h0 + d × tan α.
- Avec Pythagore : cos² α + sin² α = 1 et tan α = sin α / cos α. Valeurs remarquables : cos 60° = sin 30° = 1/2, cos 45° = sin 45° = √2/2, cos 30° = sin 60° = √3/2.
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