🪞 Transformations de courbes et parité
Une courbe, c'est comme une pâte à modeler : on peut la faire glisser, l'étirer, la retourner… sans la déchirer. Attrape l'origine de la courbe pour la déplacer, tire sur le losange pour l'étirer, et regarde les trois étapes se rejouer au ralenti. Petit piège garanti : f(x + 2) part… vers la gauche !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Étape ① (flèches bleues) : remplacer x par x + a décale toute la courbe horizontalement de −a. Avec a = 2, elle part de 2 unités vers la GAUCHE : le point qui était en x se retrouve en x − 2.
- Étape ② (flèches violettes) : multiplier par k étire la courbe verticalement (|k| > 1), l'aplatit (|k| < 1) ou la retourne par symétrie par rapport à l'axe des abscisses (k < 0). Les points de l'axe des abscisses ne bougent pas.
- Étape ③ (flèches vertes) : ajouter b décale toute la courbe verticalement de b, vers le haut si b > 0.
- Au total, l'origine O devient O′(−a ; b) : pour k = 1, la courbe de g est l'image de celle de f par la translation de vecteur u(−a ; b).
- Parité : le point A(x ; g(x)) se promène sur la courbe ; le point B(−x ; g(−x)) tombe dans l'anneau violet si g est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées), dans l'anneau vert si g est impaire (symétrie de centre O).
Expériences à faire
- Avec x², compare f(x + 2) et f(x) + 2 : laquelle monte, laquelle glisse ? Et (x − 3)² ?
- Avec |x|, prends k = −1 : la courbe se retourne. Le point de l'axe des abscisses bouge-t-il ?
- x³ est impaire : reste-t-elle impaire après un décalage vertical b = 1 ? Et après un étirement k = 3 ?
- Avec sin x, cherche le décalage a qui transforme la sinusoïde en cosinus : g devient-elle paire ?
- Tape ta propre fonction (✏️), par exemple x² − 2x, et trouve a pour la rendre paire.
Les maths derrière l'animation
- La courbe de x ↦ f(x + a) est l'image de Cf par la translation de vecteur −a i : vers la gauche si a > 0, vers la droite si a < 0.
- La courbe de x ↦ f(x) + b est l'image de Cf par la translation de vecteur b j : vers le haut si b > 0.
- La courbe de x ↦ k × f(x) s'obtient en multipliant les ordonnées par k ; pour k = −1, c'est la symétrique de Cf par rapport à l'axe des abscisses.
- Pour g(x) = k f(x + a) + b, le point M(x ; y) de Cf devient M′(x − a ; k y + b). Exemple : g(x) = 2(x + 1)² − 3 a pour sommet S(−1 ; −3).
- f est paire si son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 et f(−x) = f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. f est impaire si f(−x) = −f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O.
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