🪐 Le train épicycloïdal
On l'appelle aussi train planétaire : un soleil au centre, des satellites qui lui tournent autour, une couronne qui enferme ce petit système solaire… Il se cache dans les boîtes de vitesses automatiques, les visseuses, les éoliennes et les moyeux de vélo. Bloque un élément, entraîne-en un autre, et regarde la magie (pardon : la relation de Willis) opérer.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Couronne bloquée, les satellites roulent à l'intérieur de la couronne en tournant sur eux-mêmes, et le porte-satellites suit lentement, dans le même sens que le soleil : c'est un réducteur.
- Par rapport au porte-satellites, les satellites tournent en sens inverse du soleil (contact extérieur) et dans le même sens que la couronne (contact intérieur).
- La valeur de (ωs − ωps) / (ωc − ωps) ne change pas quand on change d'élément bloqué : la relation de Willis ne dépend que des nombres de dents.
- Si (Zs + Zc)/3 n'est pas entier, les trois satellites ne peuvent pas être exactement à 120° : ils se décalent pour que les dents tombent juste.
- Dans le diagramme de Kutzbach, chaque élément est une droite v = ω × ρ passant par l'origine ; la droite d'un satellite relie le soleil à la couronne et passe par l'axe du satellite.
Expériences à faire
- Couronne bloquée, compare l'entrée par le soleil et l'entrée par le porte-satellites : quel lien y a-t-il entre les deux rapports ?
- Bloque le porte-satellites : le train devient-il un train d'engrenages ordinaire ? À quoi servent alors les satellites ?
- Garde le même soleil et ajoute des dents aux satellites : le rapport change-t-il ? Pourquoi ?
- Les satellites tournent-ils plus vite que le soleil ? Dans quel sens ? Affiche le diagramme des vitesses pour le voir.
- Entraîne le soleil à 1 500 tr/min, comme un vrai moteur électrique (clique sur la valeur pour la taper) : à quelle vitesse tourne la sortie quand la couronne est bloquée ?
Le cours derrière l'animation
- Dans le référentiel du porte-satellites, le train devient un train simple : le soleil entraîne les satellites (contact extérieur, le sens s'inverse) qui entraînent la couronne (contact intérieur, le sens se conserve).
- D'où la relation de Willis : (ωs − ωps) / (ωc − ωps) = − Zc / Zs, soit Zs ωs + Zc ωc = (Zs + Zc) ωps.
- Condition de coaxialité (même module) : rc = rs + 2 rsat, donc Zc = Zs + 2 Zsat. Pour monter 3 satellites à 120°, il faut en plus que (Zs + Zc)/3 soit entier.
- Couronne bloquée, entrée par le soleil, sortie par le porte-satellites : r = Zs / (Zs + Zc). Porte-satellites bloqué : r = − Zs / Zc, le sens s'inverse.
- Deux éléments solidaires : tout tourne en bloc et r = 1 (prise directe). En bloquant tour à tour des éléments différents avec des freins et des embrayages, une boîte automatique obtient plusieurs rapports avec les mêmes engrenages.
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