📈 La réponse fréquentielle et le diagramme de Bode
Une enceinte, une suspension de voiture, un filtre électronique : tous ces systèmes font le tri dans les fréquences. Ils laissent passer les unes, étouffent les autres et les retardent toutes un peu. Fais varier la pulsation de l'entrée et regarde le point courir sur le diagramme de Bode, ce dessin en deux courbes que les ingénieurs dégainent plus vite que leur ombre.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- En régime établi, la sortie est une sinusoïde de même pulsation que l'entrée : seules son amplitude (gain |H(jω)|) et sa phase (déphasage φ) changent.
- À basse fréquence, la sortie suit l'entrée avec le gain statique K et presque sans retard ; à haute fréquence, le système n'arrive plus à suivre : le gain chute et la sortie traîne derrière l'entrée.
- Les vecteurs de Fresnel tournent ensemble à la vitesse angulaire ω : le rapport de leurs longueurs est le gain, l'angle entre eux est le déphasage. Leurs projections sur l'axe vertical redonnent e(t) et s(t).
- Pour un 2e ordre peu amorti (ξ < √2/2 ≈ 0,71), une bosse apparaît sur la courbe de gain : c'est la résonance, d'autant plus haute et pointue que ξ est petit.
- Les asymptotes forment un squelette très simple : un palier à 20 log K, puis une pente de −20 dB par décade (1er ordre) ou de −40 dB par décade (2e ordre).
Expériences à faire
- Pour le 1er ordre, quel est le déphasage à la pulsation de coupure ωc = 1/τ ? Et le gain, comparé à 20 log K ?
- Bien au-delà de la coupure, multiplie ω par 10 : de combien de décibels le gain diminue-t-il pour un 1er ordre ? Pour un 2e ordre ?
- Lis le retard Δt sur les signaux et vérifie que φ = −ω·Δt (en radians), soit −360° × Δt/T.
- Diminue ξ : la pulsation de résonance se rapproche-t-elle de ω0 ? Pour quelle valeur de ξ la résonance disparaît-elle ?
- Double K : de combien de décibels la courbe de gain monte-t-elle ? La courbe de phase change-t-elle ? Puis choisis « ✏️ Ma fonction de transfert » et tape un passe-bande 0,1p/(1 + 0,1p + 0,01p^2) ou un retard pur e^(−0,05p)/(1 + p) : que devient la phase à haute fréquence ?
Le cours derrière l'animation
- Fonctions de transfert : H(p) = K/(1 + τp) pour le 1er ordre et H(p) = K/(1 + 2ξp/ω0 + p²/ω0²) pour le 2e ordre. En régime sinusoïdal, on remplace p par jω : s(t) = |H(jω)|·E·sin(ωt + φ) avec φ = arg H(jω).
- Gain en décibels : G = 20 log|H(jω)|. Le diagramme de Bode trace G et φ en fonction de ω en échelle logarithmique (une décade = un facteur 10 sur ω).
- 1er ordre : |H| = K/√(1 + ω²τ²) et φ = −arctan(ωτ). À la pulsation de coupure ωc = 1/τ, G = 20 log K − 3 dB (|H| = K/√2) et φ = −45°.
- 2e ordre : φ = −90° exactement pour ω = ω0, où |H| = K/(2ξ). Si ξ < √2/2, il y a résonance à ωr = ω0√(1 − 2ξ²) avec un facteur de surtension Q = |H|max/K = 1/(2ξ√(1 − ξ²)). La coupure à −3 dB (par rapport à 20 log K) vaut ωc = ω0·√(1 − 2ξ² + √((1 − 2ξ²)² + 1)).
- Le déphasage se mesure aussi sur les signaux : φ = −ω·Δt = −360° × Δt/T, où Δt est le retard de la sortie sur l'entrée et T la période. Pour une fonction de transfert quelconque, on remplace p par jω et on calcule le module et l'argument du nombre complexe obtenu ; un retard pur e−Tp ne change pas le gain mais ajoute un déphasage −ωT.
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