🌀 La torsion d'un arbre
Entre le moteur et la roue d'une voiture, entre la turbine et l'alternateur d'une centrale, il y a toujours un arbre qui se tord sans qu'on le voie. Règle la puissance, la vitesse et le diamètre, regarde les génératrices s'enrouler en hélices… et découvre pourquoi les arbres de transmission des camions sont des tubes et pas des barres pleines.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le couple transmis vaut Mt = P/ω : à puissance égale, un arbre qui tourne lentement doit supporter un couple bien plus grand. C'est pour ça que les arbres de sortie des réducteurs sont plus gros que ceux des moteurs.
- Les génératrices (lignes tracées sur l'arbre) deviennent des hélices : chaque section tourne d'un angle proportionnel à sa distance au moteur. La torsion est très amplifiée sur le dessin (le facteur est affiché en haut).
- Dans la section, le cisaillement τ est nul au centre et croît linéairement jusqu'à la surface : la matière du cœur ne travaille presque pas. Un tube supprime cette matière inutile.
- Le diamètre agit à la puissance 4 sur la rigidité et à la puissance 3 sur la contrainte : doubler D divise l'angle de torsion par 16 et la contrainte par 8.
- La case « Comparer » met en regard ton arbre et l'arbre plein de même masse : à poids égal, le tube est à la fois plus résistant et plus rigide.
Expériences à faire
- Garde la puissance et divise la vitesse par 3 : que deviennent le couple, la contrainte et l'angle de torsion ?
- Remplace l'acier par de l'aluminium sans rien changer d'autre : la contrainte change-t-elle ? Et l'angle ? Pourquoi ? Vérifie ensuite avec ✏️ Mon matériau en entrant un laiton (G = 37 GPa, Re = 200 MPa, ρ = 8 500 kg/m³).
- Avec D = 50 mm, augmente peu à peu le diamètre intérieur d : jusqu'où peux-tu creuser l'arbre avant que τmax augmente vraiment ?
- Un arbre plein respecte la condition de résistance mais tourne de 2° par mètre : est-il acceptable pour une transmission ? Que faudrait-il changer ?
- Pourquoi un tube trop mince n'est-il pas une bonne idée, même si le calcul de τmax semble parfait ?
Le cours derrière l'animation
- Couple transmis : Mt = P/ω avec ω = 2πN/60 (N en tr/min). Exemple : 10 kW à 1 500 tr/min donnent Mt = 63,7 N·m.
- Moment quadratique polaire d'une section circulaire : I0 = π(D4 − d4)/32 (d = 0 pour un arbre plein). Il est aussi noté IG.
- Contrainte de cisaillement : τ(r) = Mt·r/I0, orthoradiale, linéaire en r et maximale en surface : τmax = Mt·(D/2)/I0, soit 16 Mt/(πD3) pour un arbre plein.
- Angle de torsion : θ = Mt·L/(G·I0), avec le module de Coulomb G = E/(2(1 + ν)) ≈ 81 GPa pour l'acier, 26 GPa pour l'aluminium. On limite souvent l'angle unitaire θ/L à environ 0,25 °/m pour un arbre de transmission.
- Condition de résistance : τmax ≤ Rpg = Rg/s = ξ·Re/s, avec ξ = 0,5 pour un acier doux, 0,7 pour un acier mi-dur, ≈ 1/√3 d'après le critère de von Mises. Hypothèses : section circulaire, élasticité linéaire, couple constant entre le moteur et la poulie, flexion négligée.
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