📋 Tableau croisé et probabilités conditionnelles
« Sachant que… » : deux petits mots qui changent tout. Ici, chaque individu est un bonhomme rangé selon deux caractères. Choisis une probabilité conditionnelle : les bonshommes hors du groupe s'effacent, le groupe s'agrandit, et tu comptes dans le nouvel univers. Et tu découvriras pourquoi un test positif ne veut pas forcément dire « malade » !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La mosaïque est un tableau croisé dessiné : chaque rectangle a une aire proportionnelle à son effectif (A ∩ B, A ∩ B̄, Ā ∩ B, Ā ∩ B̄). Le tableau à côté donne les mêmes nombres, avec les totaux (effectifs marginaux).
- Pour une probabilité simple comme P(A), on compte dans toute la population : orange pour les cas favorables, bleu pour l'univers Ω (on divise par N).
- Pour PA(B), les individus hors de A s'effacent, puis A s'agrandit : c'est le nouvel univers. On divise par card(A), et non plus par N.
- Pour PB(A), la mosaïque se réorganise d'abord selon B : le numérateur card(A ∩ B) est le même que pour PA(B), mais le dénominateur change. Dans le test de dépistage, PT(M) ≈ 0,32 alors que PM(T) = 0,9 !
- La dernière ligne des formules compare PA(B) à P(B) : s'ils sont égaux, savoir A ne change rien, A et B sont indépendants.
Expériences à faire
- Dans « Sport et musique », compare PS(M), PS̄(M) et P(M) : que remarques-tu ?
- Test de dépistage : affiche PT(M). Que devient-elle si 200 personnes sur 1 000 sont malades (au lieu de 50) ?
- Clique sur la case « Total » d'une colonne : quelle probabilité s'affiche ?
- Peux-tu fabriquer un tableau où PA(B) = PB(A) ? À quelle condition sur card(A) et card(B) ?
- Avec « ✏️ Ma situation », fais l'enquête dans ta classe (filles/garçons et demi-pension, par exemple) et calcule tes propres probabilités.
Les maths derrière l'animation
- Dans une situation d'équiprobabilité, P(A) = card(A) / card(Ω) = card(A) / N : c'est la fréquence marginale de A dans la population.
- Probabilité de B sachant A (si card(A) ≠ 0) : PA(B) = card(A ∩ B) / card(A). C'est la fréquence conditionnelle de B dans la sous-population A : on restreint l'univers à A.
- P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) : on multiplie le long d'un chemin de l'arbre pondéré.
- PA(B) et PB(A) ont le même numérateur card(A ∩ B) mais pas le même dénominateur : en général, elles sont différentes. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) et P(Ā) = 1 − P(A).
- A et B sont indépendants lorsque PA(B) = P(B), c'est-à-dire P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
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