🧭 Les systèmes de coordonnées
Pour dire où se trouve un point, il y a plusieurs façons de compter : « 3 pas à droite et 2 pas en haut », ou « 4 pas dans cette direction-là ». Déplace le point M, passe des coordonnées cartésiennes aux polaires, puis monte dans l'espace avec les cylindriques et les sphériques… et regarde la petite base locale qui suit M partout comme son ombre.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- En cartésiennes, la base (ux, uy) est fixe : OM = x ux + y uy, on va d'abord à droite puis vers le haut.
- En polaires, la base locale (ur, uθ) est attachée à M : ur pointe à l'opposé de O, uθ est tourné de 90° dans le sens de θ croissant. Quand M bouge, elle tourne avec lui (les flèches pâles montrent la base en d'autres points du cercle).
- Le vecteur position s'écrit très simplement OM = r ur, mais attention : ur dépend de θ, toute l'information sur la direction est cachée dedans.
- En cylindriques, on ajoute la cote z ; en sphériques, on repère M par sa distance r = OM et deux angles : θ mesuré depuis l'axe Oz (de 0 à 180°) et φ mesuré autour de Oz depuis l'axe Ox (de 0 à 360°). C'est la convention des prépas françaises.
- En mouvement circulaire uniforme, la vitesse est portée par uθ et l'accélération pointe vers le centre : a = r θ̇² = v²/r. Avec la rosace, ṙ n'est plus nul et a prend une composante orthoradiale.
Expériences à faire
- Place M sur l'axe des x négatifs : que vaut θ ? Dans quelle direction pointe alors ur ?
- Que se passe-t-il pour θ quand M arrive exactement en O ? Pourquoi dit-on que l'angle n'est plus défini ?
- En sphériques, garde r et φ fixés et fais varier θ de 0 à 180° : sur quelle courbe se déplace M ? Et si tu fais varier φ seul ?
- Lance un mouvement circulaire uniforme puis double ω : la vitesse est multipliée par combien ? Et l'accélération ?
- Avec le balancier, où l'accélération a-t-elle une composante aθ nulle ? Où est-elle la plus grande ? Puis choisis « ✏️ Mon mouvement » et tape tes propres r(t) et θ(t) : la spirale r = 0,2t, θ = t, ou une hélice en cylindriques avec z(t) = 0,3t − 2.
La physique derrière l'animation
- Polaires : x = r cos θ, y = r sin θ, r = √(x² + y²), tan θ = y/x ; base locale ur = cos θ ux + sin θ uy et uθ = −sin θ ux + cos θ uy, avec dur/dθ = uθ et duθ/dθ = −ur.
- Cylindriques (r, θ, z) : OM = r ur + z uz et dOM = dr ur + r dθ uθ + dz uz ; volume élémentaire dV = r dr dθ dz.
- Sphériques (r, θ, φ) : x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ ; OM = r ur et dOM = dr ur + r dθ uθ + r sin θ dφ uφ ; dV = r² sin θ dr dθ dφ.
- Vitesse et accélération en polaires (en dérivant ur et uθ) : v = ṙ ur + r θ̇ uθ et a = (r̈ − r θ̇²) ur + (2 ṙ θ̇ + r θ̈) uθ.
- Mouvement circulaire (r = R constant) : v = R θ̇ uθ et a = −R θ̇² ur + R θ̈ uθ ; s'il est uniforme, a = R ω² = v²/R, dirigée vers le centre. Les dessins des petits déplacements sont agrandis pour être visibles.
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