✖️ Système de deux équations : deux droites qui se croisent
Vingt têtes, cinquante-six pattes : combien de poules et de lapins ? Chaque information est une droite, et la réponse est le seul point qui se trouve sur les deux à la fois. Promène le point M jusqu'à ce que les deux équations s'allument, puis regarde la méthode par combinaison faire pivoter une troisième droite autour de la solution, comme une aiguille de boussole.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque équation ax + by = c est une droite : ses points sont exactement les couples (x ; y) qui la vérifient. Le point M allume « E₁ ✔ » sur la droite orange et « E₂ ✔ » sur la bleue.
- La solution du système est le point S commun aux deux droites : c'est le seul endroit où M allume les deux équations à la fois.
- La droite violette αE₁ + βE₂ passe toujours par S, quels que soient α et β : un point qui vérifie E₁ et E₂ vérifie aussi leur combinaison. Avec « Faire tourner », elle balaie tout un pinceau de droites autour de S.
- « Éliminer y » fait pivoter la droite violette jusqu'à la verticale x = x₀ : on lit l'abscisse de S. « Éliminer x » l'amène à l'horizontale y = y₀.
- Quand le déterminant ab′ − a′b vaut 0, les droites sont parallèles : soit elles sont distinctes (aucune solution), soit elles sont confondues (une infinité de solutions).
Expériences à faire
- Poules et lapins : quelle équation vient des têtes, laquelle des pattes ? Lis la solution, puis vérifie-la de tête.
- Clique sur « Éliminer y » : quels nombres α et β ont été choisis ? Retrouve-les avec la formule b′E₁ − bE₂.
- Choisis l'exemple sans solution : que vaut le déterminant ? Que se passe-t-il quand tu cliques sur « Éliminer y » ?
- Avec tes valeurs, invente un problème de cinéma dont la réponse est 9 € pour un adulte et 6 € pour un enfant.
- Change seulement c : comment bouge la droite (E₁) ? Et la solution ?
Les maths derrière l'animation
- Un système de deux équations linéaires à deux inconnues s'écrit ax + by = c et a′x + b′y = c′. Chaque équation (avec (a ; b) ≠ (0 ; 0)) représente une droite ; les solutions sont les coordonnées des points communs aux deux droites.
- Le déterminant ab′ − a′b est celui des vecteurs directeurs (−b ; a) et (−b′ ; a′). S'il est non nul, les droites sont sécantes et le système a une unique solution ; s'il est nul, elles sont parallèles : aucune solution ou une infinité.
- Méthode par combinaison : b′E₁ − bE₂ élimine y et donne (ab′ − a′b) x = cb′ − c′b ; a′E₁ − aE₂ élimine x et donne (a′b − ab′) y = a′c − ac′. Méthode par substitution : on exprime une inconnue avec une équation et on la remplace dans l'autre.
- Toute combinaison αE₁ + βE₂ est vérifiée par la solution : graphiquement, c'est une droite qui passe par le point d'intersection S. Éliminer une inconnue revient à choisir la droite verticale (ou horizontale) de ce « pinceau ».
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