🕸️ Les suites récurrentes : l'escalier et la toile d'araignée
Une suite récurrente, c'est une machine qui avale un nombre et en recrache un autre… qu'on lui redonne aussitôt à manger. Pour voir où elle va, pas besoin de calculer cent termes : il suffit de faire des allers-retours entre la courbe de f et la droite y = x. Selon les cas, tu verras un escalier sage, une toile d'araignée hypnotique… ou un joyeux chaos.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Pour passer de un à un+1, on monte (ou on descend) verticalement jusqu'à la courbe de f, puis on rejoint horizontalement la droite y = x : cela reporte un+1 sur l'axe des abscisses, prêt pour l'étape suivante.
- Quand la suite converge, c'est vers un point fixe ℓ, là où la courbe coupe la droite y = x (f(ℓ) = ℓ). Il est attractif (vert) quand |f′(ℓ)| < 1 et répulsif (rouge) quand |f′(ℓ)| > 1.
- Si f′(ℓ) > 0, les termes s'approchent de ℓ toujours du même côté : la construction est un escalier. Si f′(ℓ) < 0, ils sautent d'un côté à l'autre de ℓ : c'est une toile d'araignée qui s'enroule.
- Avec la suite logistique, augmente r : au-delà de 3, la limite se dédouble en un cycle de période 2 (un carré), puis 4, puis 8… et vers 3,57 commence le chaos, où aucun motif ne se répète.
- Pour une suite arithmétique, la courbe est une droite parallèle à y = x : l'escalier ne s'arrête jamais. Pour une suite géométrique, tout dépend de la raison q : convergence vers 0 si |q| < 1, divergence si |q| > 1.
Expériences à faire
- Avec √(uₙ + 2), pars de u₀ = 0 puis de u₀ = 9 : la suite est-elle croissante ou décroissante ? Converge-t-elle vers la même limite ?
- Avec la suite géométrique, passe la raison de 0,8 à −0,8 : pourquoi l'escalier devient-il une spirale ?
- Avec la suite logistique et u₀ = 0,1, essaie r = 2,5, puis 3,2, puis 3,5, puis 3,8 : combien de valeurs la suite finit-elle par visiter ?
- Avec uₙ² + c et c = 0, pars de u₀ = 0,9 puis de u₀ = 1,1 : que se passe-t-il ? Le point fixe 1 est-il attractif ?
- Avec uₙ₊₁ = 0,5 uₙ + 2, calcule le point fixe à la main, puis vérifie-le sur le dessin.
Les maths derrière l'animation
- Une suite récurrente est définie par son premier terme u0 et une relation un+1 = f(un). Si elle converge vers ℓ et si f est continue, alors f(ℓ) = ℓ : la limite est un point fixe de f.
- Suite arithmétique de raison r : un+1 = un + r, donc un = u0 + n r. Elle diverge vers +∞ si r > 0 et vers −∞ si r < 0.
- Suite géométrique de raison q : un+1 = q un, donc un = u0 × qn. Si |q| < 1, elle tend vers 0 ; si q > 1 et u0 > 0, elle tend vers +∞.
- Suite arithmético-géométrique un+1 = a un + b (a ≠ 1) : son point fixe est ℓ = b/(1 − a) et vn = un − ℓ est géométrique de raison a.
- Critère local : si |f′(ℓ)| < 1, le point fixe ℓ est attractif (les termes qui partent assez près de ℓ s'en rapprochent) ; si |f′(ℓ)| > 1, il est répulsif.
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