🪜 Suites arithmétiques et géométriques : le duel
Ajouter 100 € par an ou gagner 3 % par an : qui gagne ? Au début, la suite arithmétique fanfaronne… mais la suite géométrique, elle, a des marches qui grandissent toutes seules. Regarde-les s'affronter, puis découvre deux astuces de génie pour additionner leurs termes sans calculatrice.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Dans le nuage de points, chaque marche de l'escalier orange a la même hauteur r : les points (n ; un) d'une suite arithmétique sont alignés sur une droite de pente r.
- Pour la suite géométrique, on multiplie par q : la hauteur d'une marche est (q − 1) × vn, elle grandit avec vn quand q > 1. Les points ne sont pas alignés : c'est une croissance « exponentielle ».
- Astuce du petit Gauss : en recopiant les termes dans l'ordre inverse (barres bleues) et en les empilant sur les barres orange, chaque colonne mesure u0 + uN. On obtient un rectangle qui vaut deux fois la somme.
- Pour la somme géométrique, multiplier S′ par q décale tous les termes d'un cran : dans S′ − qS′, presque tout s'élimine et il ne reste que v0 − vN+1.
- Avec q négatif, les termes changent de signe à chaque pas : la suite n'est ni croissante ni décroissante.
Expériences à faire
- Avec l'exemple du salaire, à partir de quelle année le +3 % rapporte-t-il plus que le +100 € ? Et si on part de 5 000 € au lieu de 2 000 € ?
- Dans la vue de Gauss, change u₀ et r : la hauteur du rectangle est-elle toujours u₀ + uN ? Pourquoi ?
- Avec v₀ = 1 et q = 2, calcule 1 + 2 + 4 + … + 2¹⁰ grâce à la formule, puis vérifie avec l'animation.
- Mets q = 1 dans la vue « S − qS » : pourquoi la formule ne marche-t-elle plus ? Que vaut alors la somme ?
- Avec 0 < q < 1, augmente N jusqu'à 40 : la somme S′ semble-t-elle s'approcher d'une valeur ? Compare-la à v₀/(1 − q).
Les maths derrière l'animation
- Suite arithmétique de raison r : un+1 = un + r, donc un = u0 + n r (et un = up + (n − p) r). Elle est croissante si r > 0, décroissante si r < 0.
- Suite géométrique de raison q : vn+1 = q × vn, donc vn = v0 × qn. Pour v0 > 0, elle est croissante si q > 1 et décroissante si 0 < q < 1.
- Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique : S = (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) / 2. En particulier 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
- Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique (q ≠ 1) : S′ = v0 + … + vN = v0 × (1 − qN+1)/(1 − q). En particulier 1 + q + … + qn = (1 − qn+1)/(1 − q).
- Représentation graphique : les points (n ; un) d'une suite arithmétique sont alignés (croissance linéaire) ; ceux d'une suite géométrique de raison q > 1 montent de plus en plus vite (croissance exponentielle).
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