🐍 Sens de variation d'une suite et algorithme de seuil
« À partir de quand mon capital aura-t-il doublé ? » Pour répondre, pas besoin d'être devin : il suffit d'une petite boucle while qui calcule les termes un par un jusqu'à franchir le seuil. Regarde le programme Python travailler ligne par ligne… et tends-lui un piège pour le faire tourner à l'infini !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La ligne surlignée en orange est celle que l'ordinateur exécute. À chaque passage sur « while », il teste la condition : tant qu'elle est vraie, il calcule le terme suivant et ajoute 1 à n ; dès qu'elle est fausse, il sort de la boucle et renvoie n.
- Le tableau des variables garde une trace de chaque test : c'est exactement le tableau que l'on fait à la main pour « faire tourner » un algorithme.
- Sur le graphique, chaque nouveau terme s'allume et une flèche le relie au précédent : verte si un+1 > un (la suite monte), rouge si un+1 < un (elle descend). Le signe de un+1 − un donne le sens de variation.
- Le résultat n0 est le premier rang pour lequel la condition du while devient fausse : c'est là que la suite franchit la droite y = S.
- Si la suite n'atteint jamais le seuil (par exemple une suite qui se rapproche de 50 sans jamais passer sous 40), la condition reste toujours vraie : la boucle ne s'arrête jamais !
Expériences à faire
- Avec le placement à 5 %, combien d'années faut-il pour doubler le capital ? Et pour le tripler (S = 3 000) ? Le résultat dépend-il de u₀ si S = 2 × u₀ ?
- Avec 0,8uₙ + 10, mets u₀ = 20 : la suite devient-elle croissante ? Quelle condition faut-il alors écrire dans le while ?
- Avec uₙ = n² − 10n + 30, à partir de quel rang la suite devient-elle croissante ? Compare avec le signe de 2n − 9.
- Tape ta propre suite dans « ✏️ Ma suite », par exemple uₙ₊₁ = √(uₙ + 6) : le programme Python s'écrit-il comme tu l'aurais fait ?
- Exécute le programme avec le bouton ⏭, une ligne à la fois, en remplissant le tableau sur ta feuille avant de cliquer.
Les maths derrière l'animation
- Sens de variation : la suite (un) est croissante si un+1 − un ≥ 0 pour tout n, décroissante si un+1 − un ≤ 0 pour tout n.
- Si tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer un+1 / un à 1 : croissante si le quotient est ≥ 1, décroissante s'il est ≤ 1.
- Pour une suite explicite un = f(n), si f est croissante sur [0 ; +∞[, alors (un) est croissante (et de même pour décroissante).
- Algorithme de seuil : n = 0 ; u = u0 ; while u < S : u = f(u) ; n = n + 1 ; return n. Il renvoie le premier rang n0 tel que un0 ≥ S (pour une suite qui finit par dépasser S).
- Exemple : un+1 = 1,05 un avec u0 = 1 000 ; un = 1 000 × 1,05n ≥ 2 000 pour la première fois en n = 15.
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