🗳️ Sondage et intervalle de confiance : f ± 1/√n
Le soir des élections, à 20 h pile, la télé annonce le vainqueur… alors que les bulletins ne sont pas encore comptés ! Comment les sondeurs font-ils ? Ils interrogent quelques milliers de personnes et donnent une fourchette. Ici, la vraie proportion est cachée derrière un rideau : à toi de jouer au sondeur, puis de soulever le rideau pour voir si tu avais raison.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le sondeur ne voit pas la population : la vraie proportion p est cachée. Chaque sondage interroge n personnes au hasard et donne une fréquence observée f = k/n, différente d'un sondage à l'autre.
- Chaque sondage devient un segment : la fourchette [f − 1/√n ; f + 1/√n], appelée intervalle de confiance au niveau 95 %. Tous les segments sont différents, mais ils se chevauchent autour d'une même valeur.
- En révélant p, la ligne verte apparaît : environ 95 % des segments (souvent un peu plus) la traversent, les autres sont en rouge. On ne sait jamais à l'avance si SON sondage fait partie des ratés !
- Quand n augmente, les segments rétrécissent comme 1/√n : la précision s'améliore, mais de plus en plus lentement.
- Pour une élection serrée, le sondage ne permet d'annoncer un vainqueur que si 50 % n'est pas dans la fourchette : il faut alors interroger beaucoup de monde.
Expériences à faire
- Avec n = 1 000, quelle est la marge d'erreur d'un sondage ? Est-ce suffisant pour départager deux candidats à 51 % et 49 % ?
- Combien de personnes faut-il interroger pour une marge d'erreur de 1 point ? De 3 points ?
- Fais 100 sondages avec n = 25, puis avec n = 10 000 : la proportion de fourchettes qui contiennent p change-t-elle ? Et leur largeur ?
- Avec les gauchers (p proche de 12 %), compare les deux formules de fourchette quand n est petit.
- Avec ✏️ Mes valeurs, choisis p = 0,05 et n = 30 : les fourchettes sont-elles fiables ? Pourquoi les conditions 0,2 ≤ f ≤ 0,8 et n ≥ 25 comptent-elles ?
Les maths derrière l'animation
- On veut estimer une proportion p inconnue dans une population. On interroge n personnes au hasard (épreuves indépendantes) et on calcule la fréquence observée f = k/n.
- Intervalle de confiance au niveau 95 % : [f − 1/√n ; f + 1/√n] (pour n ≥ 25 et 0,2 ≤ f ≤ 0,8). Environ 95 % des intervalles ainsi construits (ou plus) contiennent p.
- La marge d'erreur vaut e = 1/√n et l'amplitude de l'intervalle 2/√n. Pour obtenir une marge e, il faut 1/√n ≤ e, c'est-à-dire n ≥ 1/e².
- Dans le supérieur, on utilise souvent l'intervalle plus précis [f − 1,96 √(f(1 − f)/n) ; f + 1,96 √(f(1 − f)/n)].
- Attention : « 95 % » ne veut pas dire que p a 95 % de chances d'être dans TA fourchette ; cela veut dire que la méthode réussit environ 95 fois sur 100.
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