➕ Somme de variables aléatoires : espérance et variance
Lance deux dés : pourquoi le 7 sort-il plus souvent que le 12 ? Ici, chaque couple (x ; y) est une case colorée, et un clic les fait voler vers l'histogramme de X + Y. Tu verras que les espérances s'additionnent toujours… mais que les variances, elles, ont besoin d'indépendance pour bien se tenir !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque case du tableau correspond à un couple (xi ; yj) ; elle contient la valeur z = a xi + b yj. Si X et Y sont indépendantes, sa probabilité est le produit P(X = xi) × P(Y = yj).
- Les cases de même couleur ont la même valeur de Z : avec deux dés, elles forment des diagonales. Le bouton « ➕ Additionner » les empile dans l'histogramme : la diagonale la plus longue (le 7) donne la barre la plus haute.
- L'espérance de Z est toujours a E(X) + b E(Y), même quand X et Y sont liées : c'est la linéarité de l'espérance.
- Avec un dé et sa face cachée (Y = 7 − X), X + Y vaut toujours 7 : sa variance est nulle, alors que V(X) + V(Y) ≈ 5,83. La formule V(X + Y) = V(X) + V(Y) exige l'indépendance.
- En mode échantillon, la loi de la moyenne Mn se resserre autour de E(X) quand n grandit, et l'histogramme des moyennes empiriques tirées au hasard se cale sur elle.
Expériences à faire
- Avec deux dés, règle Z = X − Y : quelle est son espérance ? Sa variance est-elle plus petite que celle de X + Y ?
- Règle Z = 2X avec a = 2 et b = 0 : compare V(2X) et V(X + Y) pour deux dés indépendants. Lancer un dé deux fois, est-ce comme doubler un seul lancer ?
- Choisis « le même dé compté deux fois » : que valent E(X + Y) et V(X + Y) ? Pourquoi 4 V(X) et non 2 V(X) ?
- Avec « ✏️ Mes lois », invente deux jeux de hasard et calcule le gain moyen et la variance quand on joue aux deux.
- En mode échantillon, multiplie n par 4 : l'écart-type de Mn est-il divisé par 4 ou par 2 ? Tire 100 échantillons pour le vérifier.
Les maths derrière l'animation
- Linéarité de l'espérance (toujours vraie) : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX + bY) = a E(X) + b E(Y) ; en particulier E(aX + c) = a E(X) + c.
- Variance d'une somme : si X et Y sont indépendantes, V(X + Y) = V(X) + V(Y) et V(aX + bY) = a² V(X) + b² V(Y). Attention : V(X − Y) = V(X) + V(Y). Sans indépendance, ces formules peuvent être fausses.
- Pour une constante : V(aX + c) = a² V(X), donc σ(aX + c) = |a| σ(X).
- Échantillon de taille n (X1, …, Xn indépendantes, de même loi que X) : Sn = X1 + … + Xn vérifie E(Sn) = n E(X) et V(Sn) = n V(X).
- Moyenne Mn = Sn/n : E(Mn) = E(X), V(Mn) = V(X)/n et σ(Mn) = σ(X)/√n. La moyenne empirique d'un échantillon est une valeur prise par Mn.
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