〰️ Sinus et cosinus : parité, période et équations
Les fonctions sinus et cosinus sont de grandes paresseuses : elles se répètent tous les 2π et l'une est même la copie décalée de l'autre ! Plie leurs courbes, tamponne leur motif, et attrape toutes les solutions de cos x = 1/2 d'un seul coup de filet.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La courbe orange de sinus, décalée de π/2 vers la gauche, recouvre exactement la courbe bleue de cosinus : cos x = sin(x + π/2).
- Le motif jaune, tracé sur un intervalle de longueur T, colle partout à la courbe quand T est une période (2π pour cos et sin) ; sinon les copies vertes se décalent.
- En pliant le long de l'axe (Oy), la courbe de cosinus se superpose à elle-même : cos est paire. Celle de sinus, elle, a besoin d'un demi-tour autour de O : sin est impaire.
- Sur le cercle, M(x) et M′(−x) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même cosinus, sinus opposés. C'est la parité vue sur le cercle.
- La droite y = a coupe la courbe une infinité de fois (deux fois par période) si −1 ≤ a ≤ 1, et jamais sinon. Dans un intervalle donné, on ne garde que quelques solutions.
Expériences à faire
- Trouve toutes les solutions de cos x = 1/2 dans ]−π ; π], puis dans [0 ; 2π[. Pourquoi n'obtient-on pas les mêmes ?
- Pour quelles valeurs de a l'équation sin x = a a-t-elle exactement une solution dans ]−π ; π] ?
- Teste T = π avec cos x : est-ce une période ? Et avec la fonction ✏️ cos(2x) ?
- Tape |sin x| puis x sin x : sont-elles paires, impaires, ou ni l'une ni l'autre ? Vérifie avec les deux boutons de symétrie.
- Place x en 3π/4, puis en −3π/4 : que deviennent cos x et sin x ? Retrouve le résultat avec la parité.
Les maths derrière l'animation
- Pour tout réel x : −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ 1 et cos² x + sin² x = 1. Valeurs remarquables : cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = 1/2, sin(π/6) = 1/2…
- Périodicité : cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x. On trace la courbe sur un intervalle de longueur 2π, puis on la recopie par translations de vecteur 2π i.
- Parité : cos(−x) = cos x (cos est paire, courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) et sin(−x) = −sin x (sin est impaire, courbe symétrique par rapport à l'origine).
- Équations : cos x = cos α ⟺ x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ ; sin x = sin α ⟺ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ (k entier). Exemple : cos x = 1/2 sur ]−π ; π] donne S = {−π/3 ; π/3}.
- Lien entre les deux courbes : cos x = sin(x + π/2) et sin x = cos(x − π/2) ; les dérivées (Terminale) sont cos′ = −sin et sin′ = cos.
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