⚖️ Signe du trinôme et inéquations du second degré
Une inéquation, c'est un videur de boîte de nuit : il laisse entrer certains nombres x et refoule les autres. Ici, un scanner passe tous les réels en revue, compare la parabole à la droite, et peint en vert ceux qui ont le droit d'entrer. À toi ensuite de deviner la liste des invités… avec les bons crochets !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Pour résoudre f(x) ⋄ g(x), on passe tout à gauche : T(x) = f(x) − g(x). Le segment coloré du scanner, entre la parabole et la droite, c'est exactement T(x) : vert quand l'inéquation est vraie, rouge sinon.
- Les solutions changent seulement là où T(x) s'annule, c'est-à-dire aux abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite (les racines de T). Entre deux racines, le signe ne bouge pas.
- Le signe du trinôme suit une règle simple : celui de A à l'extérieur des racines, le signe contraire entre les racines. Si Δ < 0, T(x) garde le signe de A partout.
- Les crochets disent si une racine est comprise : avec ≤ ou ≥, T(x) = 0 convient, le crochet est tourné vers les solutions ; avec < ou >, il est tourné vers l'extérieur.
- Quand la droite est tangente à la parabole (Δ = 0), l'ensemble des solutions peut être réduit à un seul nombre… ou être ℝ privé de ce nombre.
Expériences à faire
- Avec x² − x − 6 > 0, passe de « > » à « ≥ » : qu'est-ce qui change sur la droite des réels ? Et dans l'écriture de S ?
- Avec x² + 2x + 5 < 0, regarde Δ : pourquoi S est-il vide ? Que se passe-t-il si tu changes juste le signe en « > » ?
- Avec x² ≤ 2x + 3, coche « Tracer aussi T(x) » : la parabole violette en pointillés coupe-t-elle l'axe aux mêmes abscisses que les points orange ?
- Fais varier p (l'ordonnée à l'origine de la droite) jusqu'à ce que la droite ne touche plus la parabole : que devient Δ ? Et S ?
- Active la 🙈 devinette, cache-toi le résultat et colorie toi-même S : as-tu bien choisi les crochets ?
Les maths derrière l'animation
- Résoudre f(x) ⋄ g(x), c'est résoudre T(x) ⋄ 0 avec T(x) = f(x) − g(x) = Ax² + Bx + C ; graphiquement, ce sont les abscisses des points où Cf est au-dessus (ou en dessous) de la droite D.
- Discriminant : Δ = B² − 4AC. Si Δ > 0, deux racines x1 et x2 = (−B ± √Δ)/(2A) ; si Δ = 0, une racine double x0 = −B/(2A) ; si Δ < 0, aucune racine réelle.
- Signe du trinôme : T(x) est du signe de A à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines ; si Δ ≤ 0, il a le signe de A pour tout x (et s'annule en x0 si Δ = 0).
- Exemple : x² − x − 6 = (x + 2)(x − 3) ; A = 1 > 0, donc x² − x − 6 > 0 pour x ∈ ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[.
- Inégalité stricte (< ou >) : les racines sont exclues, crochets ouverts. Inégalité large (≤ ou ≥) : les racines sont comprises, crochets fermés.
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