🎼 Série de Fourier : tout signal est une somme de sinusoïdes
Joseph Fourier a eu une idée folle au début du XIXᵉ siècle : n'importe quel signal périodique, même un carré tout anguleux, peut s'écrire comme une somme de sinusoïdes bien rondes. Ici, chaque sinusoïde est un cercle qui tourne au bout du précédent, comme une roue sur une roue sur une roue… Ajoute des harmoniques et regarde le carré se construire, avec ses petites oreilles qui refusent obstinément de disparaître.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque cercle représente un harmonique : son rayon est l'amplitude |bn| et il tourne n fois plus vite que le premier. La hauteur de la pointe de la chaîne donne la somme partielle SN(t).
- Plus N est grand, plus SN colle au signal : l'écart moyen diminue lentement pour le carré (il a des sauts), et très vite pour le triangle (il est continu).
- Le spectre montre les amplitudes : le carré n'a que des harmoniques impairs, en 4/(nπ) ; la dent de scie a tous les harmoniques, en 2/(nπ) ; le triangle n'a que les impairs, en 8/(n²π²).
- Près d'un saut, SN dépasse toujours le signal d'environ 9 % de la hauteur du saut : c'est le phénomène de Gibbs. Quand N augmente, les oscillations se resserrent… mais ne rapetissent pas.
Expériences à faire
- Combien d'harmoniques faut-il pour approcher le carré à moins de 5 % ? Et le triangle ?
- Active la loupe et fais passer N de 5 à 50 : le dépassement diminue-t-il ? Où se trouve-t-il ?
- Active les guides : quelle courbe suit le spectre du carré ? Et celui du triangle ?
- Avec N = 1, à quoi ressemble la somme ? Pourquoi appelle-t-on ce premier terme le « fondamental » ?
Les maths derrière l'animation
- Un signal impair de période T s'écrit s(t) = Σ bn sin(nωt), avec ω = 2π/T et bn = (2/T) ∫0T s(t) sin(nωt) dt.
- Signal carré (±1) : bn = 4/(nπ) pour n impair, 0 pour n pair. Triangle : bn = ±8/(n²π²) pour n impair. Dent de scie : bn = (−1)n+1 × 2/(nπ).
- Plus le signal est régulier, plus ses coefficients décroissent vite : en 1/n s'il a des sauts, en 1/n² s'il est continu avec des angles.
- Phénomène de Gibbs : au voisinage d'un saut, le maximum de SN dépasse le signal d'environ 8,95 % de la hauteur du saut, quel que soit N.
- Le spectre (amplitude de chaque harmonique, de fréquence n × f) est ce que mesure un analyseur de spectre, et ce qui permet à ton oreille de reconnaître le timbre d'un instrument.
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