⛲ La parabole et le discriminant
Un jet d'eau, un ballon de basket, une antenne satellite : la parabole est partout ! Ici, c'est toi qui la sculptes : tire sur son sommet, déplace ses racines ou joue avec a, b et c, et regarde le discriminant Δ décider s'il y aura deux racines, une seule… ou aucune.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le coefficient a décide de l'allure : si a > 0, la parabole est tournée vers le haut et son sommet est un minimum ; si a < 0, elle est tournée vers le bas et son sommet est un maximum. Plus |a| est grand, plus elle est étroite.
- Les trois formes décrivent la même fonction : la forme développée donne c (l'ordonnée à l'origine, point bleu), la forme canonique donne le sommet S(α ; β), la forme factorisée donne les racines x1 et x2.
- Le discriminant Δ = b² − 4ac compte les points communs avec l'axe des abscisses : deux si Δ > 0, un seul si Δ = 0 (la parabole est alors tangente à l'axe : racine double), aucun si Δ < 0.
- Les points violets M et M′, à la même hauteur, restent toujours à égale distance de la droite d'équation x = α : c'est l'axe de symétrie de la parabole, et il passe par le sommet.
- Les zones vertes et rouges montrent le signe de f(x) : il est celui de a à l'extérieur des racines et le contraire entre les racines. C'est exactement ce que résume le tableau de signes.
Expériences à faire
- Pars de x² − 2x − 3 et augmente c petit à petit : à quel moment les deux racines se rejoignent-elles ? Que vaut alors Δ ?
- Garde b et c fixes et change seulement a : le sommet bouge-t-il ? Et si tu changes a en forme canonique, que reste-t-il fixe ?
- Tape les valeurs d'un exercice, par exemple la hauteur d'un ballon h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5 (a = −4,9 ; b = 20 ; c = 1,5) : le repère zoome tout seul. À quel instant le ballon est-il le plus haut ?
- Pour le défi des trois points, regarde P et R : ils ont la même ordonnée… qu'est-ce que cela t'apprend sur α ?
- Trouve deux paraboles différentes qui ont les mêmes racines −1 et 3. Qu'est-ce qui les distingue ?
Les maths derrière l'animation
- Forme développée : f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0. Forme canonique : f(x) = a(x − α)² + β avec α = −b/(2a) et β = f(α) ; S(α ; β) est le sommet de la parabole et la droite d'équation x = α son axe de symétrie.
- Discriminant : Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, deux racines x1 = (−b − √Δ)/(2a) et x2 = (−b + √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, une racine double x0 = −b/(2a) ; si Δ < 0, aucune racine réelle.
- Forme factorisée (si Δ ≥ 0) : f(x) = a(x − x1)(x − x2), ou a(x − x0)² si Δ = 0. Somme et produit des racines : x1 + x2 = −b/a et x1 × x2 = c/a.
- Signe du trinôme : f(x) est du signe de a pour tout réel x, sauf strictement entre les racines (quand Δ > 0) où il est du signe contraire. Si Δ < 0, f(x) ne s'annule jamais et garde le signe de a.
- Si a > 0, f admet un minimum égal à β, atteint en x = α ; si a < 0, f admet un maximum égal à β, atteint en x = α.
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