⛷️ Le saut à ski : équations horaires et trajectoire
Un sauteur à ski quitte le tremplin à plus de 90 km/h… en visant légèrement vers le bas ! Pourquoi ne pas sauter vers le haut ? Et comment peut-on retomber de 50 m de haut sans se casser les jambes ? Règle ton tremplin, saute, et laisse les équations de Newton répondre.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Pendant le vol, l'accélération est toujours g : vertical, vers le bas, toujours la même. Les points de la chronophotographie (toutes les 0,2 s) sont régulièrement espacés horizontalement : vx ne change pas. Verticalement, ils s'écartent de plus en plus : vy diminue de g à chaque seconde.
- Le graphe des vitesses le confirme : vx(t) est une droite horizontale, vy(t) une droite de pente −g. Ce sont exactement les équations horaires écrites dans le cadre des formules.
- La longueur du saut se lit le long de la piste (repères rouges), comme en compétition : c'est l'intersection de la parabole avec la droite de la piste, solution d'une équation du second degré en t.
- À l'arrivée, presque toute la vitesse est parallèle à la piste : seule la petite composante perpendiculaire v⊥ doit être amortie par les jambes. C'est pour cela que les pistes d'atterrissage sont si raides.
- Sur la Lune, avec le même tremplin, le sauteur vole bien plus longtemps et bien plus loin : la trajectoire est une parabole beaucoup plus « ouverte ».
Expériences à faire
- Grand tremplin olympique : augmente v0 de 10 % ; la longueur du saut augmente-t-elle de 10 % ou de plus ?
- Cherche l'angle de décollage qui fait sauter le plus loin. Est-ce 45° comme sur un sol plat ? Recommence avec une pente β plus douce, puis plus raide : que remarques-tu ?
- Garde le même saut et rends la pente plus douce : la longueur augmente-t-elle ? Et la vitesse perpendiculaire à l'arrivée ?
- Coche « trajectoire prévue » avant de sauter : le sauteur suit-il exactement la parabole y(x) ? Pourquoi ?
- Compare deux sauts identiques sur Terre et sur Mars : par combien est multiplié le temps de vol ?
La physique derrière l'animation
- Système : le sauteur assimilé à un point, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. S'il ne subit que son poids (air négligé), la 2e loi de Newton donne m a = m g, donc a = g : ax = 0, ay = −g.
- En intégrant avec les conditions initiales (départ en O avec la vitesse v0 inclinée de α) : vx = v0 cos α, vy = v0 sin α − g t, puis x(t) = v0 cos α · t et y(t) = v0 sin α · t − ½ g t².
- En éliminant t = x / (v0 cos α), on obtient l'équation de la trajectoire, une parabole : y = −g x² / (2 v0² cos²α) + x tan α.
- La piste est la droite y = −h0 − x tan β. L'atterrissage vérifie ½ g t² − v0(sin α + cos α tan β) t − h0 = 0 ; on garde la racine positive tA, puis L = xA / cos β.
- Modèle simplifié : sans frottement ni portance. En réalité, la position en V crée une portance qui allonge les sauts, et la piste est courbe pour suivre la trajectoire.
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