📳 Les oscillations forcées et la résonance
Pousse une balançoire au bon rythme et elle monte, monte… Pousse-la à contretemps et elle boude. Ici, un moteur secoue le haut d'un ressort : à toi de trouver la fréquence qui fait danser la masse, sans trop la brusquer (elle a son petit caractère).
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Après chaque changement de fréquence, il y a un régime transitoire (les oscillations libres s'éteignent peu à peu), puis un régime permanent : la masse oscille à la fréquence f de l'excitateur, et non à sa fréquence propre.
- À très basse fréquence, la masse suit l'excitateur sans broncher : A ≈ E et les deux courbes sont en phase. À très haute fréquence, elle n'a pas le temps de suivre : A devient minuscule, en opposition de phase.
- Près de f0, l'amplitude s'envole : c'est la résonance. La masse est alors décalée d'un quart de période par rapport à l'excitateur (quadrature de phase).
- Plus l'amortissement est faible, plus le pic est haut et étroit… et plus le régime transitoire est long. Avec un fort amortissement, le pic disparaît presque.
Expériences à faire
- Avec m = 500 g et k = 20 N/m, calcule f0 = (1/2π)√(k/m) avant de chercher le pic : ta prévision est-elle bonne ?
- Divise l'amortissement par 2 : la hauteur du pic double-t-elle ?
- Accroche une masse plus lourde : dans quel sens le pic se déplace-t-il ? Pourquoi ? Puis choisis « ✏️ Mes valeurs » : prends ta propre masse, ta raideur k et ton amplitude E, et prévois f0 avant de chercher le pic.
- Compare les courbes e(t) et x(t) bien en dessous de f0, à la résonance et bien au-dessus : que devient le décalage entre elles ?
- En juin 2000, la passerelle du Millénaire, à Londres, s'est mise à osciller sous les pas des piétons. Fermée deux jours après son inauguration, elle a rouvert en 2002, équipée d'amortisseurs : quel réglage de l'animation cela représente-t-il ?
La physique derrière l'animation
- Équation du mouvement : m × d²x/dt² = −k (x − e(t)) − λ dx/dt, où e(t) = E cos(2πft) est le déplacement imposé par l'excitateur. La pesanteur ne fait que décaler la position d'équilibre.
- En régime permanent, x(t) = A cos(2πft − φ) avec A = E ω0² / √((ω0² − ω²)² + (λω/m)²), où ω = 2πf et ω0 = √(k/m).
- Résonance : A est maximale pour fr = f0 √(1 − 1/(2Q²)), très proche de f0 = (1/2π)√(k/m) quand l'amortissement est faible ; le pic vaut alors environ Q × E, avec Q = √(km)/λ. Si Q < 1/√2 ≈ 0,71, il n'y a plus de résonance du tout.
- Le régime transitoire dure quelques τ = 2m/λ : plus l'amortissement est faible, plus il faut être patient (le bouton « Sauter le régime transitoire » place directement la masse sur la solution permanente).
- Attention aux idées reçues : le pont de Tacoma (1940) ne s'est pas effondré par simple résonance, mais à cause d'un phénomène aéroélastique, le flottement, entretenu par le vent. En revanche, c'est bien pour éviter une excitation périodique que les soldats rompent le pas sur les ponts.
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