🔦 Résoudre graphiquement f(x) = k et f(x) ≤ g(x)
Résoudre une inéquation sans faire un seul calcul ? Oui, avec une courbe et de bons yeux ! Ici, un scanner passe au peigne fin chaque abscisse x : si la courbe Cf est au bon endroit par rapport à la droite (ou à l'autre courbe), x gagne sa place dans l'ensemble des solutions. Sinon… au revoir.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Pour résoudre f(x) = k, on cherche les points où la courbe Cf rencontre la droite horizontale y = k : les solutions sont leurs abscisses (points violets projetés sur la droite des solutions).
- Pour résoudre f(x) ≥ k, le scanner peint en vert l'écart entre Cf et la droite quand la courbe est au-dessus (ou dessus), en rouge sinon : S est l'ensemble des abscisses peintes en vert.
- La droite des solutions, sous le repère, montre S avec ses crochets : fermés « [ ] » quand l'inégalité est large (≤, ≥), ouverts « ] [ » aux points d'intersection quand elle est stricte (<, >).
- Quand la courbe touche la droite sans la traverser, on obtient une solution « double » : avec la fonction du cours et k = 4 ou k = 0, l'équation n'a plus que 2 solutions au lieu de 3.
- Avec deux courbes, on compare f(x) et g(x) de la même façon. Là où l'une des fonctions n'est pas définie (1/x en 0), aucun x ne peut être solution.
Expériences à faire
- Avec la fonction du cours, fais glisser la droite y = k de bas en haut : combien l'équation f(x) = k a-t-elle de solutions selon k ?
- Résous x² ≤ x + 2 avec le scanner, puis vérifie par le calcul : pourquoi −1 et 2 sont-ils solutions ?
- Compare f(x) ≥ 2 et f(x) > 2 pour la fonction du cours : quels crochets changent de sens ?
- Avec f(x) = 1/x, résous 1/x > 2 : pourquoi l'ensemble des solutions s'arrête-t-il juste avant 0 ?
- Tape tes propres fonctions f et g (✏️) et résous f(x) < g(x) : retrouves-tu le résultat par le calcul ?
Les maths derrière l'animation
- Résoudre f(x) = k graphiquement : on trace la droite horizontale y = k et on lit les abscisses des points d'intersection avec Cf.
- Résoudre f(x) ≥ k (resp. f(x) ≤ k) : on garde les abscisses des points de Cf situés au-dessus (resp. en dessous) de la droite y = k, ou sur elle. Pour une inégalité stricte, les points d'intersection sont exclus.
- Résoudre f(x) = g(x) : abscisses des points d'intersection de Cf et Cg. Résoudre f(x) ≤ g(x) : abscisses des points où Cf est en dessous de Cg (ou la coupe).
- Exemple du cours : f(x) = x³ − 3x + 2 sur [−2,5 ; 2]. L'équation f(x) = 2 a pour solutions −√3, 0 et √3 ; l'inéquation f(x) ≥ 2 a pour ensemble de solutions S = [−√3 ; 0] ∪ [√3 ; 2].
- Une lecture graphique donne souvent des valeurs approchées : pour des valeurs exactes, on résout ensuite par le calcul (factorisation, tableau de signes).
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