📈 Nuage de points et droite des moindres carrés
Plus il fait chaud, plus on vend de glaces… mais combien exactement à 34 °C ? Pour prévoir, on cherche LA droite qui colle le mieux au nuage de points. « Le mieux », ça se mesure : c'est la droite dont les carrés des écarts ont la plus petite aire totale. Essaie de la trouver à la main avant de laisser la formule gagner !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque point (xᵢ ; yᵢ) est relié à la droite par un écart vertical eᵢ = yᵢ − (a xᵢ + b), et un carré de côté |eᵢ| est dessiné : la somme S de leurs aires mesure la qualité de la droite.
- La droite des moindres carrés est celle qui rend S la plus petite possible. Elle passe toujours par le point moyen G(x̄ ; ȳ) et son coefficient directeur vaut a = cov(x, y) / V(x).
- Le graphique de S en fonction de la pente est une parabole : parmi les droites qui passent par G, une seule atteint le minimum, celle des moindres carrés.
- Un seul point aberrant suffit à faire basculer la droite et à faire chuter le coefficient de corrélation r, qui mesure l'alignement du nuage (proche de 1 ou de −1 : points presque alignés).
- Quand le nuage est courbé, comme pour une croissance exponentielle, on aligne plutôt les points (xᵢ ; ln yᵢ) : c'est un changement de variable.
Expériences à faire
- En mode « ✋ Ma droite », de combien de pourcents dépasses-tu le minimum du premier coup ?
- Déplace un point loin au-dessus du nuage : comment bougent G, la pente a et le coefficient r ?
- Avec les glaces, quelle vente prévois-tu à 34 °C ? Et à 50 °C : la prévision a-t-elle encore un sens ?
- Tape tes propres mesures, par exemple celles d'une expérience de physique : la relation est-elle affine ?
- Pour la distance de freinage, quel changement de variable aligne le mieux les points : ln(y) ou √y ? Pourquoi ?
Les maths derrière l'animation
- Point moyen : G(x̄ ; ȳ) avec x̄ = (x1 + … + xn) / n et ȳ = (y1 + … + yn) / n.
- Variance et covariance : V(x) = (1/n) Σ (xi − x̄)2 et cov(x, y) = (1/n) Σ (xi − x̄)(yi − ȳ).
- Droite des moindres carrés : y = a x + b avec a = cov(x, y) / V(x) et b = ȳ − a x̄. Elle passe par G et rend minimale S = Σ (yi − a xi − b)2.
- Coefficient de corrélation : r = cov(x, y) / (σ(x) σ(y)), compris entre −1 et 1. Un ajustement affine est pertinent quand |r| est proche de 1.
- Changement de variable : si z = ln(y) est proche de a x + b, alors y ≈ eb × ea x (ajustement exponentiel). Une prévision hors du nuage (extrapolation) se prend toujours avec prudence.
D'autres animations
La droite numérique : intervalles et valeur absolue
Fais glisser les bornes, retourne les crochets, croise deux intervalles : I ∩ J, I ∪ J, distance |b − a| et |x − c| ≤ r en direct.
Manipuler →Le zoo des nombres : entiers, décimaux, rationnels et réels
Range n'importe quel nombre dans les enclos emboîtés ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ, puis pars à la chasse à la fraction qui vaudrait √2.
Manipuler →L'équation et la balance
Résous ax + b = cx + d sur une balance : agis sur les deux plateaux pour isoler le sac x… et regarde-la pencher si tu triches !
Manipuler →Et maintenant, on passe aux choses sérieuses ? 😉
ExpoSinus est un site d'éducation : les jeux et les articles sont là pour donner envie, les cours et les exercices pour progresser vraiment.