♾️ Le raisonnement par récurrence : l'effet domino
Démontrer une propriété pour une infinité d'entiers en trois lignes ? C'est l'astuce des dominos : si le premier tombe, et si chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, alors… ils tombent tous, jusqu'à l'infini. Ici, tu pousses les dominos toi-même, et tu découvres aussi les deux façons de rater ton coup.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Un domino renversé veut dire « P(n) est démontrée ». Sous chaque domino, ✓ ou ✗ dit seulement si P(n) est vraie d'après le calcul : vérifier n'est pas démontrer.
- Initialisation : on ne peut pousser le domino n0 que si P(n0) est vraie. Sinon, il est collé à la table : rien ne démarre.
- Hérédité : entre deux dominos, une flèche ⇒ verte signifie « P(n) ⇒ P(n + 1) est démontrée ». Un mur « ? » arrête la chaîne là où le calcul de l'hérédité ne marche pas, un mur « ✗ » là où elle est carrément fausse.
- Sous la piste, le calcul de l'hérédité s'écrit pour un n quelconque, puis se rejoue en direct avec les nombres du domino qui vient de tomber.
- Les deux pièges : « 4ⁿ + 1 multiple de 3 » a une hérédité parfaite… mais aucun domino ne peut être poussé ; « n² + n + 41 premier » est vraie pour n = 0 à 39, puis fausse en n = 40.
Expériences à faire
- Avec 2ⁿ > n², pousse le domino 0 : jusqu'où va la chaîne ? Quel est le plus petit n₀ qui fait tout tomber ?
- Avec Bernoulli, règle a = −1 puis a = 5 : la propriété reste-t-elle vraie ? Pourquoi faut-il 1 + a ≥ 0 dans l'hérédité ?
- Avec la suite uₙ₊₁ = 2uₙ + 1, change u₀ : la formule uₙ = (u₀ + 1) × 2ⁿ − 1 tient-elle toujours ?
- Avec ✏️ Ma propriété, tape la somme des k³ et compare-la à (n(n + 1)/2)² : vraie partout ? Et avec la somme des k comparée à n²/2 ?
- Pourquoi la vérification de P(0) à P(39) pour n² + n + 41 ne prouve-t-elle rien ?
Les maths derrière l'animation
- Principe de récurrence : si P(n0) est vraie (initialisation) et si, pour tout n ≥ n0, P(n) vraie ⇒ P(n + 1) vraie (hérédité), alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0.
- Somme des entiers : 1 + 2 + ⋯ + n = n(n + 1)/2. Hérédité : n(n + 1)/2 + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2.
- Somme des impairs : 1 + 3 + ⋯ + (2n − 1) = n², car n² + (2n + 1) = (n + 1)².
- Inégalité de Bernoulli : pour a ≥ −1, (1 + a)n ≥ 1 + na, car (1 + a)n+1 ≥ (1 + a)(1 + na) = 1 + (n + 1)a + na² ≥ 1 + (n + 1)a.
- Divisibilité : si 4n − 1 = 3k, alors 4n+1 − 1 = 4(3k + 1) − 1 = 3(4k + 1) : 4n − 1 est un multiple de 3 pour tout n.
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