⛰️ Une bille dans un paysage d'énergie potentielle
Imagine des montagnes russes dessinées par l'énergie potentielle : là où la courbe descend, la bille accélère ; là où elle grimpe, elle ralentit, et si l'énergie manque, elle fait demi-tour. Modèle le paysage, lâche la bille d'où tu veux… et essaie de la faire tenir en équilibre au sommet d'une bosse, si tu as la main sûre !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- La droite horizontale est l'énergie mécanique Em : sans frottement, elle ne bouge pas. L'écart vertical entre cette droite et la courbe est l'énergie cinétique Ec = Em − Ep.
- La bille ne peut aller que là où Ep ≤ Em (zone verte) : aux bords de cette zone, sa vitesse s'annule et elle repart en sens inverse, ce sont les points de rebroussement.
- Une zone bleue est permise par l'énergie, mais la bille ne peut pas l'atteindre : une bosse plus haute que Em l'en sépare.
- Au fond d'un puits, la force −dEp/dx ramène toujours la bille : l'équilibre est stable. Au sommet d'une bosse, elle l'en éloigne : l'équilibre est instable, et la moindre perturbation la fait tomber.
- Avec des frottements, Em descend petit à petit et la bille finit toujours au fond d'un puits, sur un équilibre stable.
Expériences à faire
- Dans le puits harmonique, lâche la bille de plus ou moins haut : la période change-t-elle ? Et dans le double puits ? Et si tu choisis « ✏️ Ma fonction » et tapes |x| ?
- Augmente la masse sans rien changer d'autre : les points de rebroussement bougent-ils ? Et la période ?
- Dans le double puits, quelle énergie faut-il au minimum pour passer d'un puits à l'autre ?
- Dans le puits de Morse, lâche la bille de plus en plus près du mur de gauche : à partir de quand la molécule se dissocie-t-elle ?
- Avec le profil libre, fabrique un puits très étroit et un puits très large : lequel donne les oscillations les plus rapides ?
La physique derrière l'animation
- Force conservative à un degré de liberté : F = − dEp/dx. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit m ẍ = − dEp/dx : l'animation le résout pas à pas (méthode de Runge-Kutta d'ordre 4), à partir de la seule courbe Ep(x).
- Sans frottement, l'énergie mécanique Em = ½ m v² + Ep(x) se conserve. Comme Ec ≥ 0, le mouvement est confiné aux zones où Ep(x) ≤ Em ; les points de rebroussement vérifient Ep(x) = Em.
- Positions d'équilibre : dEp/dx = 0. L'équilibre est stable si d²Ep/dx² > 0 (minimum de Ep), instable si d²Ep/dx² < 0 (maximum).
- Près d'un minimum x0, Ep(x) ≈ Ep(x0) + ½ k (x − x0)² avec k = Ep″(x0) : le mouvement est celui d'un oscillateur harmonique de pulsation ω = √(k/m) et de période T = 2π √(m/k), valable pour les petites oscillations seulement.
- Le puits de Morse, Ep = D[(1 − e−a(x − x0))² − 1], modélise une liaison chimique : si Em < 0 l'état est lié (vibration de la molécule), si Em ≥ 0 la bille part à l'infini, c'est un état de diffusion (dissociation). Ici x en mètres et E en joules, pour garder des nombres simples.
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