🔭 Puissances de 10 et écriture scientifique
Un proton, une fourmi, la tour Eiffel, la Voie lactée : comment écrire des tailles aussi différentes sans aligner des kilomètres de zéros ? Avec les puissances de 10 ! Fais le grand voyage du zoom, regarde la virgule sauter de case en case, et découvre combien de toi il faudrait empiler pour faire le tour de la Terre.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Dans le grand zoom, la règle du bas mesure toujours 10n m et elle est découpée en 10 graduations de 10n−1 m : chaque cran du zoom multiplie la largeur de la fenêtre par 10.
- Les objets sont dessinés à l'échelle et emboîtés, comme dans le film « Powers of Ten » : le proton dans le noyau, l'atome dans l'ADN, la fourmi sur la tête, la tour Eiffel dans Paris, la Terre près du Soleil… Quand la fenêtre grandit 1 000 fois, un objet qui la remplissait n'est plus qu'un point.
- Dans « La virgule qui saute », chaque saut vers la gauche divise le nombre par 10, donc l'exposant augmente de 1 pour compenser ; chaque saut vers la droite fait l'inverse. On s'arrête quand il reste un seul chiffre non nul avant la virgule.
- Dans « Combien de fois plus grand ? », le rapport B/A se calcule en divisant les nombres a et b d'un côté, et en soustrayant les exposants de l'autre : c'est la règle 10m/10n = 10m−n.
Expériences à faire
- Lance le voyage automatique : combien de « crans » faut-il pour passer de l'atome (10−10 m) à la Terre (107 m) ?
- Écris en écriture scientifique la vitesse de la lumière, puis 45,6 × 10³ : pourquoi ce dernier n'était-il pas encore « scientifique » ?
- Tape ta taille en mètres, ou celle de ton chat, avec ✏️ Mon objet : entre quels objets se range-t-elle ?
- Combien de fois la Terre est-elle plus grande qu'un être humain ? Et un humain par rapport à un atome ?
- Pourquoi 100 = 1 ? Pense à 103/103 en utilisant la règle des exposants.
Les maths derrière l'animation
- Pour tout entier n ≥ 1 : 10n = 1 suivi de n zéros, 10−n = 1/10n = 0,00…01 (le 1 est au n-ième rang après la virgule) et 100 = 1.
- Règles de calcul : 10m × 10n = 10m+n ; 10m/10n = 10m−n ; (10m)n = 10m×n.
- Écriture scientifique d'un nombre non nul : a × 10n avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif. Exemples : 299 792 458 ≈ 3,00 × 108 et 0,000 07 = 7 × 10−5.
- Ordre de grandeur : pour a × 10n, on retient 10n si a < 5 et 10n+1 si a ≥ 5. Le Soleil (1,39 × 109 m) a pour ordre de grandeur 109 m.
- Les préfixes du système international sont des puissances de 10 : 1 km = 103 m, 1 mm = 10−3 m, 1 µm = 10−6 m, 1 nm = 10−9 m. Une année-lumière vaut environ 9,46 × 1015 m.
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