📐 Projeté orthogonal, Pythagore et Thalès en mouvement
Pour rejoindre une route le plus vite possible, faut-il couper en biais ou filer tout droit ? Pythagore a la réponse, et tu vas la voir. Puis regarde quatre triangles jouer au taquin pour prouver que a² + b² = c², et une droite parallèle glisser dans un triangle pendant que les rapports de Thalès restent sagement égaux. Bonus : mesure un arbre avec un simple bâton !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Projeté orthogonal : le triangle MHN est rectangle en H, donc MN² = MH² + HN². Comme HN² ≥ 0, MN est toujours au moins égal à MH : le point H est le point de la droite le plus proche de M. La courbe du bas a son minimum exactement quand N = H.
- Le cercle pointillé de centre M passant par H ne touche la droite qu'en un seul point : tous les autres points de d sont à l'extérieur, donc plus loin de M.
- Carrés sur les côtés : quand l'angle en C est droit, a² et b² remplissent exactement c². Si l'angle est obtus, ça ne suffit pas ; s'il est aigu, ça déborde : c'est la contraposée de Pythagore.
- Preuve du puzzle : dans un même carré de côté a + b, les quatre triangles laissent libre soit c², soit a² + b². Ces deux aires sont donc égales.
- Thalès : quand (MN) est parallèle à (BC), AM/AB = AN/AC = MN/BC, même dans la configuration « papillon ». Dès qu'on incline (MN), les rapports ne sont plus égaux.
Expériences à faire
- Arrête la promenade et place N toi-même : où MN est-il le plus petit ? Combien vaut-il alors ?
- Règle l'angle en C à 100°, puis à 80° : le carré c² est-il trop rempli ou pas assez ?
- Avec la preuve du puzzle, prends a = b : que deviennent les carrés a² et b² ?
- Thalès : que vaut MN quand k = 1 ? Et quand k = 0 ? Et quand k = 2 ?
- Arbre : un bâton de 1,5 m planté à 3 m du bout de l'ombre, une ombre d'arbre de 18 m. Calcule la hauteur avant de régler les curseurs.
Les maths derrière l'animation
- Le projeté orthogonal H d'un point M sur une droite d est le point de d tel que (MH) ⊥ d. Pour tout point N de d, MN² = MH² + HN² ≥ MH² : MH est la distance de M à la droite d, la plus courte des distances MN.
- Théorème de Pythagore : si ABC est rectangle en C, alors AB² = AC² + BC² (c² = a² + b²). Réciproque : si AB² = AC² + BC², alors ABC est rectangle en C. Contraposée : si AB² ≠ AC² + BC², ABC n'est pas rectangle en C.
- Preuve par les aires : le carré de côté a + b contient 4 triangles d'aire ab/2 et, au choix, le carré c² ou les carrés a² et b², donc c² + 2ab = a² + b² + 2ab, soit c² = a² + b².
- Théorème de Thalès : si M ∈ (AB), N ∈ (AC) et (MN) // (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC. Réciproque : si AM/AB = AN/AC et que les points sont dans le même ordre, alors (MN) // (BC).
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