📐 Le produit scalaire et la projection
Le produit scalaire, c'est un nombre qui dit si deux vecteurs « vont dans le même sens ». Positif, négatif ou nul : tout se joue sur l'angle entre eux. Attrape les vecteurs, regarde l'ombre de l'un sur l'autre, et vérifie que quatre formules qui n'ont rien à voir donnent toujours le même résultat !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les quatre cartes de droite donnent toujours le même nombre : les coordonnées, les normes et le cosinus, la projection et l'identité de polarisation sont quatre façons de calculer le même produit scalaire.
- La flèche verte est le projeté de v sur la droite (OA) : le produit scalaire vaut OA × OH si H est du côté de A, et −OA × OH sinon.
- Quand l'extrémité B passe dans le demi-plan rouge, l'angle θ dépasse 90° et le produit scalaire devient négatif ; sur la frontière pointillée, les vecteurs sont orthogonaux et le produit scalaire est nul.
- À normes fixées, le produit scalaire ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ est le plus grand quand cos θ = 1, c'est-à-dire quand les vecteurs sont colinéaires et de même sens.
- En mode physique, seule la composante de la force parallèle au déplacement travaille : la composante perpendiculaire ne fait ni avancer ni freiner la caisse.
Expériences à faire
- Garde u fixe et déplace B le long d'une droite perpendiculaire à (OA) : que remarques-tu sur le produit scalaire ? Pourquoi ?
- Double les coordonnées de v : le produit scalaire est-il doublé ? Et si tu changes v en −v ?
- Trouve trois vecteurs v différents qui donnent tous u · v = 0 avec u = (4 ; 1). Que remarques-tu sur leurs extrémités ?
- En mode physique, quel angle faut-il entre la force et le déplacement pour que le travail soit nul ? Et pour qu'il soit résistant ?
- Coche « ✏️ Mes valeurs » et tape u = (12 ; −5) et v = (5 ; 12) : que vaut le produit scalaire ? Que peux-tu en dire ?
Les maths derrière l'animation
- Dans un repère orthonormé, si u (x ; y) et v (x′ ; y′), alors u · v = x x′ + y y′, et ‖u‖ = √(x² + y²).
- Avec l'angle θ entre les deux vecteurs : u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ. Le signe du produit scalaire est donc celui de cos θ.
- Projection : si u = OA, v = OB et H est le projeté orthogonal de B sur (OA), alors u · v = OA · OH = OA × OH ou −OA × OH selon le sens.
- Identité de polarisation : u · v = ½ (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²). Les vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
- En physique, le travail d'une force constante sur un déplacement rectiligne AB est W = F · AB = F × AB × cos θ (en joules) : moteur si θ < 90°, nul si θ = 90°, résistant si θ > 90°.
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