🔺 Produit scalaire : Al-Kashi et lignes de niveau
Pythagore marche seulement dans les triangles rectangles… mais avec un petit terme de correction, 2bc cos Â, il marche partout : c'est la formule d'Al-Kashi, un savant persan du XVe siècle. Ensuite, on colorie le plan avec le produit scalaire, et des cercles et des droites apparaissent comme par magie.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Dans la balance des aires, la barre a² et la barre b² + c² ne sont égales que si l'angle  est droit : c'est Pythagore. Sinon, l'écart (en pointillés) vaut exactement 2bc cos Â.
- Si  est aigu, cos  > 0 et le grand carré a² est plus petit que les deux autres réunis ; si  est obtus, c'est l'inverse.
- Le produit scalaire AB · AC calculé avec les normes et l'angle, avec le projeté H, avec les coordonnées ou avec les seules longueurs donne toujours le même nombre.
- Les couleurs de MA · MB s'organisent en cercles autour du milieu I de [AB] : c'est la formule MA · MB = MI² − AB²/4. Le cercle de diamètre [AB] correspond à k = 0.
- Les couleurs de AB · AM forment des bandes perpendiculaires à (AB) : les lignes de niveau sont des droites de vecteur normal AB.
Expériences à faire
- Construis le triangle de côtés a = 7, b = 5 et c = 3 avec « ✏️ Mes valeurs » : quel angle  obtiens-tu ? Calcule-le à la main avec Al-Kashi.
- Essaie a = 12, b = 5 et c = 3 : pourquoi le triangle est-il impossible ? Regarde les deux cercles.
- Rends l'angle  droit en déplaçant C : que devient le terme 2bc cos  ?
- Avec A(−3 ; −1) et B(3 ; −1), quelle est la plus petite valeur possible de MA · MB ? Où faut-il placer M ?
- Place M sur le cercle vert pour k = 0 : mesure l'angle AMB. Pourquoi est-il toujours droit ?
Les maths derrière l'animation
- Formule d'Al-Kashi : dans un triangle ABC, avec a = BC, b = AC, c = AB, a² = b² + c² − 2bc cos Â. Elle vient de BC = AC − AB, donc BC² = AC² + AB² − 2 AB · AC.
- On en déduit un angle à partir des trois longueurs : cos  = (b² + c² − a²)/(2bc). Exemple : a = 7, b = 5, c = 3 donne cos  = −1/2, donc  = 120°.
- Quatre expressions de u · v : ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ ; ± longueur × longueur du projeté ; xx′ + yy′ en repère orthonormé ; ½(‖u‖² + ‖v‖² − ‖u − v‖²).
- Si I est le milieu de [AB] : MA · MB = MI² − AB²/4. L'ensemble des points M tels que MA · MB = k est un cercle de centre I, réduit au point I, ou vide. Pour k = 0, c'est le cercle de diamètre [AB]. Théorème de la médiane : MA² + MB² = 2MI² + AB²/2.
- L'ensemble des points M tels que AB · AM = k est une droite perpendiculaire à (AB) : avec AB(a ; b), son équation est a(x − xA) + b(y − yA) = k.
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