🧬 Les primitives : une famille de courbes F + C
Une primitive, c'est une fonction dont on connaît seulement la pente en chaque point : f(x) lui dit « monte ! », « descends ! » ou « reste à plat ! ». Problème : une infinité de courbes obéissent aux mêmes ordres, à des hauteurs différentes. C'est la grande famille F + C. Pour choisir LA bonne, il suffit d'un point de passage : à toi de le placer, ou de jouer au détective en devinant toi-même une primitive !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- En bas, toutes les courbes violettes sont des primitives de f : elles se déduisent les unes des autres par une translation verticale, c'est-à-dire en ajoutant une constante C.
- Sur la ligne de lecture verte, toutes les tangentes sont parallèles : elles ont la même pente, égale à f(x), la hauteur lue sur la courbe du haut. C'est la définition F′ = f.
- Quand f(x) > 0, les primitives montent ; quand f(x) < 0, elles descendent ; quand f(x) = 0, leurs tangentes sont horizontales.
- Le point A(x₀ ; y₀) choisit une seule primitive : C = y₀ − F(x₀). Le crayon « ✏️ » la retrace en partant de A et en suivant à chaque instant la pente que lui impose f.
- Avec 1/x, les primitives ne sont définies que d'un côté de 0 : une primitive vit sur un intervalle où f est continue.
Expériences à faire
- Avec f(x) = 2x, place A en (2 ; 1) : retrouve à la main la valeur de C dans F(x) = x² + C.
- Avec cos x, à quelles abscisses les tangentes sont-elles toutes horizontales ? Que vaut alors cos x ?
- Coche 🕵️ et propose x³ − 2x + 7 comme primitive de 3x² − 2 : est-ce une primitive ? Passe-t-elle par A ?
- Propose une mauvaise primitive, par exemple x³ pour 3x² − 2 : l'animation te dit en quel x la pente ne colle pas.
- Tape ta fonction (✏️), par exemple x² − 1, et lance le crayon : la courbe tracée ressemble-t-elle à x³/3 − x ?
Les maths derrière l'animation
- F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et F′(x) = f(x) pour tout x de I.
- Si F est une primitive de f sur I, les primitives de f sur I sont exactement les fonctions x ↦ F(x) + C, avec C une constante réelle : leurs courbes se déduisent les unes des autres par translation verticale.
- Pour x0 dans I et y0 réel, il existe une unique primitive G de f telle que G(x0) = y0 : G(x) = F(x) + y0 − F(x0). Exemple : f(x) = 2x et G(2) = 1 donnent G(x) = x² − 3.
- Primitives usuelles : xn → xn+1/(n + 1) ; 1/x → ln x sur ]0 ; +∞[ ; eˣ → eˣ ; cos x → sin x ; sin x → −cos x ; u′/u → ln u (si u > 0) ; u′eu → eu.
- Toute fonction continue sur I admet des primitives ; pour a dans I, x ↦ ∫ax f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.
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