🏦 Rembourser un prêt : la suite arithmético-géométrique
Tu empruntes 10 000 € : chaque mois, la banque ajoute ses intérêts, puis tu rembourses ta mensualité. Qui gagne la course, les intérêts ou toi ? Remplis et vide la cuve étape par étape, trouve le niveau magique où rien ne bouge… et découvre la suite géométrique cachée qui permet de tout calculer d'un coup.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque étape se fait en deux temps : la cuve est multipliée par a (bande jaune si elle grossit, hachurée si elle perd une partie), puis on ajoute b (bande verte) ou on retire |b| (hachures vertes).
- La ligne violette est le point fixe ℓ : si la cuve était exactement à ce niveau, multiplier par a puis ajouter b la laisserait au même niveau.
- Les flèches violettes du graphique représentent vₙ = uₙ − ℓ : d'une étape à la suivante, leur longueur est multipliée par a (dernière colonne du tableau : le rapport est constant).
- Les points pleins (calculés pas à pas) tombent exactement dans les points creux de la formule uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ)aⁿ.
- Pour le prêt, a = 1 + t est plus grand que 1 : la dette ne diminue que si la mensualité dépasse les intérêts du premier mois, c'est-à-dire si u₀ est en dessous de ℓ = m/t.
Expériences à faire
- Prêt de 10 000 € à 6 % : combien de mois faut-il avec 300 € par mois ? Avec 200 € ? Avec 50 € ?
- Calcule le coût total du crédit sur 5 ans, puis sur 10 ans : vaut-il mieux rembourser vite ?
- Dans l'étang, change le nombre de poissons au départ : la population finit-elle toujours au même niveau ? Pourquoi ?
- Pour le médicament, quelle quantité finit-on par avoir dans le sang ? Que se passe-t-il si on double la dose ?
- Avec « ✏️ Mes valeurs », prends a = −0,5 : comment se comporte la suite autour de ℓ ?
Les maths derrière l'animation
- Une suite arithmético-géométrique vérifie un+1 = a un + b. Si b = 0, elle est géométrique ; si a = 1, elle est arithmétique.
- Si a ≠ 1, son point fixe ℓ vérifie ℓ = aℓ + b, donc ℓ = b / (1 − a). Exemple : un+1 = 0,8 un + 300 donne ℓ = 300 / 0,2 = 1 500.
- La suite auxiliaire vn = un − ℓ est géométrique de raison a : vn+1 = a un + b − (aℓ + b) = a vn. Donc vn = v0 an et un = ℓ + (u0 − ℓ) an.
- Si −1 < a < 1, an → 0 et un → ℓ. Si a > 1, an → +∞ et un part vers +∞ ou −∞ selon le signe de u0 − ℓ.
- Prêt : capital C, taux mensuel t (taux annuel / 12), mensualité m : un+1 = (1 + t) un − m. La mensualité qui rembourse en N mois est m = C t / (1 − (1 + t)−N).
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