🏷️ Pourcentages : évolutions successives et réciproque
Un magasin augmente ses prix de 20 %, puis fait des soldes à −20 % : « c'est le prix d'avant ! » crie le client. Perdu : il paie 4 % de moins… mais le commerçant, lui, a bien compté. Suis l'étiquette de prix qui voyage de colonne en colonne et découvre pourquoi, en pourcentages, on ne s'additionne pas : on se multiplie !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Chaque flèche du haut porte un taux t et son coefficient multiplicateur CM = 1 + t/100 : une hausse de 20 % multiplie par 1,2, une baisse de 20 % multiplie par 0,8.
- La flèche orange du bas résume tout le trajet : son CM est le produit des CM de chaque étape. Le cadre « 📐 Formules » barre en rouge la fausse idée de la somme des taux.
- La flèche violette en pointillés est l'évolution réciproque, qui ramène à la valeur de départ : elle multiplie par 1/CM. Après +25 %, il faut −20 % pour revenir, et non −25 %.
- En mode « répéter », la même évolution s'applique n fois : les colonnes forment une suite géométrique Vn = V0 × CMn, qui grimpe de plus en plus vite.
Expériences à faire
- Après une baisse de 20 %, quelle hausse fait revenir au prix de départ ? Et après une baisse de 50 % ?
- Une TVA de 20 % donne un prix TTC de 60 € : pourquoi le prix HT n'est-il pas 60 − 20 % = 48 € ?
- Quel taux appliqué deux fois de suite double la valeur de départ ?
- Que se passe-t-il avec une baisse de 100 % ? Peut-on encore revenir en arrière ?
- Placement à 5 % par an : en combien d'années ton capital double-t-il ? Et à 10 % ?
Les maths derrière l'animation
- Appliquer une évolution de t % revient à multiplier par le coefficient multiplicateur CM = 1 + t/100 (hausse : CM > 1 ; baisse : CM < 1). Vf = Vi × CM.
- Taux d'évolution entre une valeur initiale Vi et une valeur finale Vf : t = (Vf − Vi) / Vi × 100, et CM = Vf / Vi.
- Évolutions successives : les coefficients se multiplient, CMglobal = CM1 × CM2 × … ; les taux ne s'additionnent pas (+20 % puis −20 % donne 1,2 × 0,8 = 0,96, soit −4 %).
- Évolution réciproque : CM' = 1/CM et Vi = Vf / CM. Un prix TTC (TVA 20 %) se ramène au prix HT en divisant par 1,2.
- n évolutions identiques : Vn = V0 × CMn. Taux moyen de n évolutions : tM = (CMglobal1/n − 1) × 100.
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