🌀 Le portrait de phase
Et si on oubliait le temps ? Dans le plan de phase, un oscillateur n'est plus qu'un point dont les coordonnées sont sa position et sa vitesse. Clique où tu veux pour lancer des trajectoires : sans frottement elles tournent en rond pour l'éternité, avec frottement elles s'enroulent en escargot… et le pendule cache une frontière secrète entre les balançoires et les loopings.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Pour l'oscillateur harmonique sans frottement, chaque trajectoire est une ellipse fermée parcourue dans le sens des aiguilles d'une montre : le mouvement est périodique et l'énergie ne change pas.
- Avec un amortissement, l'ellipse devient une spirale qui s'enroule vers l'origine : l'énergie diminue à chaque tour, et l'origine (x = 0, ẋ = 0) est la position d'équilibre stable où tout finit par s'arrêter.
- Au-delà du régime critique (γ = 2ω0), le point file vers l'origine sans tourner autour : c'est le régime apériodique, sans oscillation.
- Pour le pendule, les petites trajectoires sont presque des ellipses, puis elles se déforment en « yeux » quand l'amplitude grandit : la période s'allonge, l'oscillateur n'est plus harmonique.
- La séparatrice passe par les points (±π, 0), où la boule est en équilibre instable tout en haut : à l'intérieur le pendule oscille, à l'extérieur il fait des révolutions sans jamais s'arrêter.
Expériences à faire
- Lance plusieurs trajectoires du ressort sans amortissement : les ellipses se croisent-elles ? Pourquoi est-ce impossible ?
- Ajoute un petit amortissement : combien de tours fait la spirale avant que l'énergie soit divisée par deux ?
- Passe au pendule et lance une trajectoire près de θ = 3 rad sans vitesse : la période mesurée est-elle proche de T0 ?
- Où faut-il cliquer pour que le pendule s'approche de la position verticale haute sans jamais l'atteindre ?
- Choisis « ✏️ Mon équation » et tape x − x^3 − 0,2v : dans quel creux la bille finit-elle selon son point de départ ? Essaie aussi (1 − x^2)v − x (Van der Pol) : vers quelle courbe fermée tendent toutes les trajectoires ?
La physique derrière l'animation
- Oscillateur harmonique amorti : ẍ + γ ẋ + ω0² x = 0, avec ω0 = √(k/m) et γ = λ/m. Facteur de qualité Q = ω0/γ ; régime pseudo-périodique si Q > ½, critique si Q = ½, apériodique si Q < ½.
- Sans amortissement, l'énergie E = ½ m ẋ² + ½ k x² se conserve : la trajectoire de phase est l'ellipse de demi-axes xm et ω0 xm. La pseudo-période vaut T = 2π / √(ω0² − γ²/4).
- Pendule simple : θ̈ + ω0² sin θ = 0 avec ω0 = √(g/ℓ). L'énergie E = ½ m ℓ² θ̇² + m g ℓ (1 − cos θ) se conserve : ½ θ̇² − ω0² cos θ = constante.
- La séparatrice correspond à E = 2 m g ℓ, l'énergie juste suffisante pour atteindre le point haut : θ̇ = ± 2 ω0 cos(θ/2). Si E < 2 m g ℓ le pendule oscille, si E > 2 m g ℓ il tourne.
- Deux trajectoires de phase ne se croisent jamais (hors points d'équilibre) : la position et la vitesse à un instant déterminent tout le mouvement futur (unicité de la solution de l'équation différentielle). L'animation calcule le mouvement pas à pas par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4. Avec « ✏️ Mon équation » ẍ = f(x, ẋ), les équilibres (ẋ = 0 et f(x, 0) = 0) sont classés par linéarisation : stables si ∂f/∂x < 0 et ∂f/∂ẋ ≤ 0.
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