〰️ Polynômes de degré 3 : racines, forme factorisée et signe
Une fonction de degré 3, c'est un serpent qui traverse l'axe des abscisses jusqu'à trois fois. Place ses trois points de passage (les racines), choisis s'il monte ou s'il descend (le signe de a)… et le serpent se dessine tout seul ! Promène ensuite le scanner pour comprendre d'où vient le signe de f(x).
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Les gros points sur l'axe sont les racines x1, x2, x3 : la courbe passe par chacune, car un produit est nul dès qu'un de ses facteurs est nul.
- La courbe est verte où f(x) > 0 et rouge où f(x) < 0 : elle change de couleur à chaque racine simple.
- Le scanner calcule chaque facteur en x0. Si le nombre de facteurs négatifs est impair, f(x0) est négatif ; s'il est pair, f(x0) est positif. C'est exactement ce que résume le tableau de signes.
- Avec une racine double, la courbe touche l'axe sans le traverser : le facteur (x − x1)2 est toujours positif ou nul.
- En forme développée, certains polynômes n'ont qu'une seule racine réelle : il reste un facteur du second degré de discriminant négatif, qui ne s'annule jamais.
Expériences à faire
- Avec f(x) = (x + 2)(x − 1)(x − 3), calcule à la main la forme développée, puis vérifie. Que vaut f(0) ? Est-ce −a x1x2x3 ?
- Change seulement le signe de a : que devient la courbe ? Et le tableau de signes ?
- Rapproche deux racines jusqu'à ce qu'elles se confondent : que se passe-t-il sur la courbe et dans le tableau ?
- Trouve la fonction de degré 3 qui s'annule en 0, 2 et 5 et qui passe par le point (1 ; 4).
- En forme développée, vérifie que 2 est racine de x³ − 3x² + x + 2 quand d est bien choisi, puis lis les deux autres racines.
Les maths derrière l'animation
- Une fonction polynôme de degré 3 s'écrit f(x) = ax3 + bx2 + cx + d avec a ≠ 0. Son ordonnée à l'origine est f(0) = d.
- Si elle a trois racines x1, x2, x3 (éventuellement égales), elle se factorise : f(x) = a(x − x1)(x − x2)(x − x3). En développant : b = −a(x1 + x2 + x3), c = a(x1x2 + x1x3 + x2x3) et d = −a x1x2x3.
- Équation produit nul : a(x − x1)(x − x2)(x − x3) = 0 ⇔ x = x1 ou x = x2 ou x = x3.
- Signe : on étudie le signe de chaque facteur (x − xi est négatif avant xi, positif après) et on applique la règle des signes d'un produit dans un tableau de signes.
- Allure : si a > 0, f(x) tend vers −∞ à gauche et vers +∞ à droite ; si a < 0, c'est l'inverse. Exemple de référence : la fonction cube x ↦ x3.
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