🚰 L'écoulement de Poiseuille et les pertes de charge
Pourquoi faut-il une pompe pour faire couler l'eau dans un tuyau horizontal ? Parce que le fluide frotte contre lui-même et contre les parois, et chaque mètre de conduite lui coûte un peu de pression. Règle le fluide, le rayon et la longueur, impose une pression ou un débit, et place ton point sur le célèbre diagramme de Moody.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- En régime laminaire, les particules au centre filent deux fois plus vite que la moyenne : le profil de vitesse est une parabole, nulle à la paroi (adhérence) et maximale sur l'axe.
- En turbulent, l'agitation mélange les couches de fluide : le profil devient presque plat au centre et très raide près des parois, ce qui augmente le frottement.
- Sur le diagramme de Moody, le point suit la droite λ = 64/Re tant que l'écoulement est laminaire, puis saute sur la courbe de rugosité de ta conduite au-delà de la zone critique.
- La pression baisse linéairement le long de la conduite : chaque mètre coûte la même perte. Les coudes et l'étranglement ajoutent des marches brutales (pertes singulières).
- Pour une conduite très rugueuse et un grand Re, λ ne dépend plus de Re : les courbes de Moody deviennent horizontales (turbulence rugueuse).
Expériences à faire
- À ΔP fixée en laminaire, divise le rayon par 2 : le débit est divisé par 16. Et en turbulent, par combien ?
- Double la longueur de la conduite : que deviennent le débit (à ΔP fixée) et la perte de charge (à débit fixé) ?
- Remplace l'eau par de la glycérine à pression égale : de combien le débit chute-t-il ? Pourquoi la rugosité n'a-t-elle plus aucun effet ? Avec ✏️ Mon fluide, essaie aussi l'air (ρ = 1,2 kg/m³, μ = 1,8 × 10⁻⁵ Pa·s) ou du miel (μ ≈ 10 Pa·s).
- À débit fixé, passe d'une paroi lisse à du béton brut : la perte de charge augmente-t-elle beaucoup en laminaire ? Et en turbulent ?
- Active les pertes singulières dans une conduite courte, puis dans une conduite de 500 m : quand peut-on les négliger ?
La physique derrière l'animation
- Écoulement de Hagen-Poiseuille (laminaire établi) : u(r) = 2U(1 − r²/R²) et Q = π·R4·ΔP/(8·μ·L) : le débit varie comme la puissance 4 du rayon.
- Perte de charge linéaire, quel que soit le régime : ΔP = λ·(L/D)·½ρU², soit J = ΔP/(ρg) = λ·(L/D)·U²/(2g), avec Re = U·D/ν.
- Laminaire (Re < 2 000) : λ = 64/Re, indépendant de la rugosité. Turbulent (Re > 4 000) : formule de Colebrook 1/√λ = −2·log10[ε/(3,7·D) + 2,51/(Re·√λ)] ; en tube lisse et Re < 105, Blasius donne λ = 0,316·Re−0,25. Entre les deux, λ est incertain (ici interpolé).
- Pertes singulières : J = K·U²/(2g). Coude brusque d'angle α : K = sin²(α/2) + 2·sin4(α/2) = 1,0 à 90°. Rétrécissement brusque : K = (1/Cc − 1)² avec Cc ≈ 0,63 + 0,37·(S2/S1)³ ; élargissement brusque (Borda-Carnot) : K = (1 − S1/S2)², rapportés à la vitesse la plus grande.
- Ordres de grandeur : rugosité ε ≈ 0,0015 mm (verre, PVC, cuivre), 0,045 mm (acier commercial), 0,26 mm (fonte), 0,3 à 3 mm (béton). Une installation domestique (D ≈ 16 mm, 12 L/min) est turbulente : Re ≈ 16 000.
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