🎰 La planche de Galton et la loi binomiale
Chaque bille qui rebondit sur un clou joue à pile ou face : à droite ou à gauche ? Personne ne peut prévoir où tombera une bille… mais mille billes, elles, dessinent toujours la même cloche. Règle le nombre de rangées et la probabilité d'aller à droite, et regarde le hasard devenir prévisible !
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Le numéro de la case d'arrivée est le nombre de rebonds vers la droite : c'est une variable aléatoire X qui compte les succès de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, donc X suit la loi binomiale B(n ; p).
- Les cases du milieu se remplissent bien plus que celles du bord : beaucoup de chemins y mènent (le triangle de Pascal les compte), alors qu'un seul chemin mène tout à gauche.
- Les traits bleu marine montrent les effectifs attendus N × P(X = k) : plus il y a de billes, plus l'histogramme colle à ces traits.
- Quand n est grand, l'histogramme épouse la courbe de Gauss de même espérance n·p et de même écart-type √(n·p·(1 − p)).
- Avec p ≠ 0,5, la cloche se décale vers la case n·p et devient dissymétrique, surtout quand n est petit.
Expériences à faire
- Avec 1 seule rangée, que vaut la probabilité d'arriver dans la case 1 ? Et avec 2 rangées, pourquoi la case du milieu est-elle deux fois plus remplie ?
- Double le nombre de rangées : l'écart-type est-il multiplié par 2 ? Par √2 ?
- Règle p = 0,2 avec 4 rangées : la courbe de Gauss est-elle une bonne approximation ? Et avec 20 rangées ?
- Lâche 20 billes, puis 10 000 : comment évolue le plus grand écart entre les fréquences et les probabilités ?
- Tape p = 0, puis p = 1 : où vont toutes les billes ? Que vaut alors l'écart-type ? Est-ce encore du hasard ?
Les maths derrière l'animation
- Loi binomiale : si X compte les succès de n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p, alors P(X = k) = C(n, k) × pk × (1 − p)n−k, où le coefficient binomial C(n, k) (« k parmi n ») compte les chemins à k succès.
- Espérance et variance : E(X) = n·p et V(X) = n·p·(1 − p), donc l'écart-type vaut σ = √(n·p·(1 − p)).
- Triangle de Pascal : C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k) ; il y a 2n chemins en tout sur une planche de n rangées.
- Pour n grand (en pratique n·p ≥ 5 et n·(1 − p) ≥ 5), la loi binomiale est proche de la loi normale de même espérance et de même écart-type : c'est le théorème de Moivre-Laplace.
- Loi des grands nombres : quand le nombre N de billes augmente, la fréquence de chaque case se rapproche de sa probabilité P(X = k).
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