🐸 PGCD : Euclide en carrés et la grenouille de Bézout
Tu veux carreler une pièce de 360 cm sur 276 cm avec des carreaux carrés, les plus grands possible, sans en couper un seul ? Euclide avait la méthode il y a 2 300 ans : découper, découper, découper… jusqu'au dernier carré. Ensuite, une grenouille qui ne sait faire que deux tailles de sauts va t'expliquer pourquoi 17 et 5 s'entendent si bien.
🧪 Mode d'emploi : règle les curseurs (à droite, ou sous l'animation sur téléphone), lance avec ▶, observe les mesures et relève les 🎯 défis. Le bouton ⛶ agrandit l'animation, idéal sur téléphone à l'horizontale.
Ce que tu vois
- Dans le rectangle a × b, on retire autant de carrés de côté b que possible : c'est la division a = b × q + r. Il reste un rectangle b × r, et on recommence avec lui.
- Les divisions s'écrivent à côté, au rythme du découpage. Le dernier reste non nul est le côté du dernier carré : c'est le PGCD. La loupe montre cette dernière étape en grand.
- Les pointillés dorés montrent que des carrés dont le côté est le PGCD pavent tout le rectangle de départ : c'est le plus grand carré qui « tombe juste » dans les deux directions.
- La grenouille fait u sauts de longueur a puis v sauts de longueur b (en arrière si u ou v est négatif) : elle arrive en a u + b v. Elle ne peut se poser que sur les points dorés, les multiples du PGCD… et elle peut atteindre le PGCD lui-même.
Expériences à faire
- Avec 34 et 21, combien de divisions faut-il ? Et avec deux nombres de Fibonacci plus grands ?
- Pour la pièce de 360 cm sur 276 cm, quelle est la taille des plus grands carreaux ? Combien en faut-il ?
- Avec a = 17 et b = 5, cherche à la main u et v tels que 17u + 5v = 1, puis compare avec la remontée de l'algorithme d'Euclide.
- Si (u ; v) convient pour 17u + 5v = 1, essaie (u + 5 ; v − 17) : où arrive la grenouille ? Pourquoi ?
- Avec a = 6 et b = 10, quelles cibles la grenouille peut-elle atteindre ? Lesquelles sont impossibles ?
Les maths derrière l'animation
- Algorithme d'Euclide : si a = b × q + r avec 0 ≤ r < b, alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r). On recommence jusqu'à un reste nul : le PGCD est le dernier reste non nul.
- Premiers entre eux : a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD(a ; b) = 1 ; la fraction a/b est alors irréductible.
- Identité de Bézout : si d = PGCD(a ; b), il existe des entiers relatifs u et v tels que a u + b v = d. La remontée de l'algorithme d'Euclide permet de les trouver.
- Théorème de Bézout : a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe des entiers u et v tels que a u + b v = 1.
- Conséquence : l'équation a u + b v = c admet des solutions entières si et seulement si PGCD(a ; b) divise c.
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